工程数学实验3

 1. 算法步骤

    

   2. function [xopt, fopt, iter] = newton(x0, f, g, H, eps)

 

% x0: 初始搜索点

% f: 目标函数

% g: 梯度函数

% H: Hesse矩阵函数

% eps: 迭代收敛的精度

 

iter = 1; % 迭代计数器

max_iter = 1000; % 最大迭代次数

 

while iter <= max_iter

 

    % 计算梯度和 Hesse 矩阵

    grad = g(x0);

    Hessian = H(x0);

    

    % 求解线性方程组

    d = -Hessian \ grad;

 

    % 更新搜索点

    x1 = x0 + d;

 

    % 计算函数变化量

    df = f(x1) - f(x0);

 

    % 判断停止条件

    if abs(df) < eps

        xopt = x1;

        fopt = f(x1);

        return;

    else

        % 继续迭代

        x0 = x1;

        iter = iter + 1;

    end

 

end

 

% 达到最大迭代次数仍未收敛

xopt = x1;

fopt = f(x1);

 

end   

3. 选选取和实验二中相同的初始点$x_0$进行比较，迭代精度为$eps=1e-6$。实验结果如下表所示：

算法	$x_0$	迭代次数	最优解$x^\star$	最优值$f（x^\star）$
最速下降法	[-1.2, 1]	1798	[-1.0000, 1.0000]	0
牛顿法	[-1.2, 1]	4	[-1.0000, 1.0000]	0

 

四、心得体会

由实验结果可知，相比于最速下降法，Newton法的迭代次数更少，收敛速度更快，在这个问题上表现更好。