牛客 --- 货币系统（完全背包）

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/21467
来源：牛客网

题目描述

在网友的国度中共有n种不同面额的货币，第i种货币的面额为a[i]，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为n、面额数组为a[1..n]的货币系统记作(n,a)。
在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额x 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数x，都存在n个非负整数t[i] 满足a[i] x t[i] 的和为x。然而，在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额x不能被该货币系统表示出。例如在货币系统n=3, a=[2,5,9]中，金额1,3就无法被表示出来。
两个货币系统(n,a)和(m,b)是等价的，当且仅当对于任意非负整数x，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。
现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统(m,b)，满足(m,b) 与原来的货币系统(n,a)等价，且m尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的m。

输入描述:

输入的第一行包含一个整数T,表示数据组数。接下来按照如下格式分别给出T组数据。
每组数据的第一行包含一个正整数n。接下来一行包含n个由空格隔开的正整数a[i]。

输出描述:

输出文件共T行, 对于每组数据, 输出一行一个正整数, 表示所有与(n, a)等价的货币系统(m, b)中, 最小的m。

示例1

输入

2
4
3 19 10 6
5
11 29 13 19 17

输出

2
5

说明

在第一组数据中，货币系统(2, [3,10])和给出的货币系统(n, a)等价，并可以验证不存在m < 2的等价的货币系统，因此答案为2。
在第二组数据中，可以验证不存在m < n的等价的货币系统，因此答案为5。

备注:

1 <= T <= 20, 1 <= n <= 100, 1 <= a[i] <= 25000

思路：将原系统复制成一个新系统，并删掉该系统中能由其他数表示的数（不含自身）。

状态转移方程：dp[i] : 第i个货币a[i]能否由其他数表示，取值0或1。

具体解法：将原数组从排序，设背包容量为最大的a[i]即a[n-1], 这样每次新增一个物品a[i],能考虑从a[i] 到 a[n-1] 容量的背包能否被表示

设想？这类题和哪一类背包有联系？完全背包（自问自答，=。=）思路中说了，找到能由其他数表示的数，如3 4 7，7 由 3和4 表示，将其删掉，新系统只有3和4，互不表示（qinfan），m = 2即为最小。找这个数的过程可以理解成凑一次背包的过程。

如何找，请你先别急（bushi），代码中我写了解本题的三大关键：

 

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

int T, n, ans;
int a[110];
int dp[25007];

void solve() {
    
    cin >> T;

    while (T --) {
        cin >> n;
        ans = n;  // m系统考虑的数  
        for (int i = 0; i < n; i ++) {
            cin >> a[i];
        }
        
        sort(a, a + n);
　　　　/*
　　　　小注：（好吧有点多，举了一组例子，简单模拟了一下，如果小主赶时间可以不看~）

   　　　排序是本题最关键的地方！！！  

        dp[i] 表示i能否被系统表示，第二个for开始，j = a[i] 的那一刻 dp[j] = dp[j - a[i]] = dp[0] = 1 自己当然能表示自己

        但是让 ans减一 的操作在这之前，在第一个for内部的if语句中，无论如何第一次if判断的dp[a[i]] 一定是等于0的，（i靠前时，没有其他较小数表示a[i]）

        如一组数 7 3 4  排了序 3 4 7， 进入if判断：dp[a[0]] = dp[3] 初始是为0的，第二个for执行后 

        dp[6] = dp[3] = dp[0] = 1, 前面这个等式是本题第二大关键，也是完全背包的真正核心：

        考虑第i件物品时，能将容量为maxNum的背包中所有当前容量为k*a[i] (k = 0 1 2 3 4 ...) 时的情况都筛一遍

        排完序后，dp[3] = 1, 考虑下一件物品 a[1] = 4时, dp[7] = dp[7 - 4] = dp[3] = 1 

        这样，在考虑后面更大的数a[2] = 7,时，在if判断时就能把它踢掉了，即dp[a[2]] == 1, ans--, continue

　　　　*/

        int maxNum = a[n - 1];
        
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[0] = 1; // 0 能被被表示， 也是完全背包类题目一般的初始化步骤 
        
        for (int i = 0; i < n; i ++) {
            if (dp[a[i]] == 1) {
                ans --;
                continue;
            }
            for (int j = a[i]; j <= maxNum; j ++) {
                dp[j] = dp[j] || dp[j - a[i]];
            }
        }
        
        cout << ans << endl;
    }
    
    return; 
}

int main() {

    solve();
    
    return 0;
}

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如果小主你有更好的思路和方法，请随时评论，博主看到一定会回复滴~