9.6 流动的线性化01-04

6 流动的线性化

基本

对于升力系数的计算，在亚声速不可压缩流动下可行的公式，对于亚声速可压缩、超声速、高超声速流动，需要用不同的方法分别修正。

在线性化流动理论中，假设对自由流加入一个小的扰动，我们可以把流动方程简化成关于扰动的线性化势方程。

注意，线性化流动理论中，由于假设扰动很小，不允许激波、膨胀波的存在。

假设

通用假设：

无黏性、可压缩流动
小扰动
薄翼型
细长（slender）机身

我们的假设：

二维稳态流动
对速度势的线性化方程

亚声速可压缩流动

控制方程和速度势

这一节跟CMT的控制方程有一部分是通用的，有一部分不太一样。

连续性方程：（质量流量的连续？）

\[\begin{equation} \frac{\partial(\rho U)}{\partial x}+\frac{\partial(\rho V)}{\partial y}=0 \end{equation} \]
动量方程：\(\rho U\)（x方向质量通量）或\(\rho V\)\（y方向质量通量）*x或y方向速度
- x方向
  
  \[\begin{equation} \frac{\partial(\rho U^2)}{\partial x}+\frac{\partial(\rho UV)}{\partial y}=-\frac{\partial p}{\partial x} \end{equation} \]
- y方向
  
  \[\begin{equation} \frac{\partial(\rho UV)}{\partial x}+\frac{\partial(\rho V^2)}{\partial y}=-\frac{\partial p}{\partial y} \end{equation} \]
能量方程：比焓+比动能=总比焓（滞止焓，表示单位质量流体所具有的总能量）

\[\begin{equation} C_pT_\infty+\frac{U_\infty^2}{2}=C_pT+\frac{(U^2+V^2)}{2} \end{equation} \]
也可以写成如下形式：（具体如何转变的，参见笔记1.3的“超音速喷嘴-公式”里面的手写部分）

\[\begin{equation} \frac{a_\infty^2}{\gamma-1}+\frac{U_\infty^2}{2}=\frac{a_\infty^2}{\gamma-1}+\frac{(U^2+V^2)}{2} \end{equation} \]
这里需要注意，远前方来流速度\(U_{\infty}\)是一个标量，在碰到其他物体时（2D），来流在物体附件被分解成两个方向的速度分量。

对连续性方程和动量方程进行变换组合，可以得到速度势方程，如下所示。

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最后得到的速度势方程为：

\[\begin{equation} \left[1-\frac{1}{a^{2}}\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^{2}\right]\frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}+\left[1-\frac{1}{a^{2}}\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^{2}\right]\frac{\partial^{2}\phi}{\partial y^{2}}-\frac{2}{a^{2}}\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial^{2}\phi}{\partial x\partial y}=0 \end{equation} \]

下面对速度势的数学和物理意义做进一步说明：

数学：可以看到，连续性方程处理之后，仍然需要对矢量速度场求解。

速度势作为标量函数被定义，在数学上可以比矢量场更便于求解。

同时，该定义也保证了其梯度，即速度场，满足连续性方程，而速度势本身满足拉普拉斯方程

\[\begin{equation} \nabla\cdot(\nabla\phi)=\nabla^2\phi=0 \end{equation} \]
这样可以用分离变量等许多好方法求解速度势。
物理：在物理学中，保守力的作用可以由势能的梯度表示。

类比来看，速度场可以用速度势的梯度表示，因此速度势在某一点的值，反映了这一点流体微团获得速度的“潜力”大小。

这个“潜力”是由流场的整体分布决定的。

类比于等高线，速度矢量必定和等势线正交，因沿着等势线，速度势的值不变，因此速度势的梯度-速度，在等势线上的投影为0.

速度势的定义也符合势流理论的假说：无黏性、无旋转。

在伯努利方程中，对于无旋、定常、不可压缩流动，有\(\frac{p}{\rho}+\frac{1}{2}V^{2}+gz=\text{常数}\)，这里动能项\(V^2=(\nabla\phi)^2\)。

小扰动的加入

飞行器高速飞行时，为减小阻力，机翼的相对厚度、弯度较小，且迎角不大。

如下图所示，无穷远来流的扰动流场，除个别地方外，总的扰动不大，满足小扰动条件。

定义：流场中某点的速度为u、v，可分解成两部分：来流速度\(U_{\infin}\)，和由于物体的存在，对当地流场产生的扰动速度\(\hat{u}=u'\)，\(\hat{v}=v'\)（由于公式参考来源不同，上述扰动速度符号可能在后文混用，请小心），受到扰动产生的速度势\(\hat{\phi}=\phi'\)。

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最后推导出的跨音速、小扰动势流方程为：

\[\begin{equation} (1-M_{\infty}^{2})\frac{\partial^{2}\hat{\phi}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\hat{\phi}}{\partial y^{2}}=(\gamma+1)\frac{M_{\infty}^{2}}{U_{\infty}}\frac{\partial\hat{\phi}}{\partial x}\frac{\partial^{2}\hat{\phi}}{\partial x^{2}}+2\frac{M_{\infty}^{2}}{U_{\infty}}\frac{\partial\hat{\phi}}{\partial y}\frac{\partial^{2}\hat{\phi}}{\partial x\partial y} \end{equation} \]

线性化扰动势流方程为：

\[\begin{equation} (1-M_\infty^2)\frac{\partial^2\hat{\phi}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\hat{\phi}}{\partial y^2}=0 \end{equation} \]

注意，该方程不适用于跨音速情况，亚音速和超音速适用，因跨音速情形下需要保留右侧非线性项。

边界条件

对于无限远处的来流，令速度扰动为0即可。

对于理想流体，物体表面的边界条件是：流动不穿透物体，流体法向速度为0，物面上任意一点的合速度和物面相切。

此时，要求在物面上的法向速度分量为0.

\[\begin{equation} \tan\theta=\frac{v}{u}=\frac{\hat{v}}{U_{x}+\hat{u}} \end{equation} \]

这里，\(\theta\)是物面和自由流之间的夹角。

对于小扰动，\(\hat{u} << U_{\infty}\)、\(\theta\)必然很小，故有\(tan\theta \approx \theta\)，故线性化的物面边界条件（surface boundary conditon）如下：

\[\begin{equation} \theta=\frac{\hat{v}}{U_{\infty}} \end{equation} \]

表面压强系数

详细推导过程如下，不想看的可以快速跳转到图片下方。

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\[\begin{equation} C_p = \frac{2}{\gamma M_{\infin}^2} (1+\frac{U_{\infin}^2-U^2-V^2}{2C_p T_{\infin}})^{\frac{\gamma}{\gamma - 1}} \end{equation} \]

\[\begin{equation} C_p = -\frac{2\hat{u}}{U_{\infin}} \end{equation} \]

\[\begin{equation} C_p=\frac{2\theta}{\sqrt{M_\infty^2-1}} \end{equation} \]

注意，该公式适用于超音速、小扰动、小攻角情况。

亚音速流动系数压缩性修正

对于高亚音速可压缩流动，满足如下条件的机翼、攻角、马赫数，允许从不可压缩的压力、升力、力矩系数，通过直接变化得到可压缩流动中的值，称为普朗特-格劳特（Prandtl-Galuert）压缩性修正。

其限制条件为：

薄翼型，\(\frac{t}{c} \le 0.1\)；
小攻角，\(\alpha < 5^{\circ}\)；
自由流马赫数\(M_{\infty} < 0.7\)。

这里直接给出Richard教的四组公式（角标带0的是不可压缩下的），有兴趣的同学可以自行了解相关推导过程。

注意，国内教科书（如刘沛清《空气动力学》）在这一部分是引入一个常数因子，解可压缩流动速度势函数线化方程加线化边界条件问题，就转化为解拉普拉斯方程加相同边界条件的不可压缩流动问题，即亚声速薄翼型绕流问题已变换为不可压绕流问题。最后得到的系数和下面的一样，只是把分子（根号这一坨）换成了\(\beta\)。

压力系数：

\[\begin{equation} C_p=\frac{C_{p,0}}{\sqrt{1-M_{\infty}^{2}}} \end{equation} \]
升力系数：

\[\begin{equation} c_{l}=\frac{c_{l,0}}{\sqrt{1-M_{\infty}^{2}}} \end{equation} \]
力矩系数：

\[\begin{equation} c_m=\frac{c_{m,0}}{\sqrt{1-M_{\infty}^{2}}} \end{equation} \]
升力线斜率（升力系数关于攻角的变化）：

\[\begin{equation} \frac{dC_{L}}{d\alpha}=\frac{2\pi}{\sqrt{1-M_{\infty}^{2}}} \end{equation} \]

请小心这里的C大小写。

超声速流动

这里就暂不进行推导了，直接给结论公式。

推导过程太多了，时间来不及。

先简单概括一下，如果有机会再做推导：

获得上下表面压力系数；
对表面压力积分，得整个机翼上下表面压力分布（可以关于x、关于y积分）；
求上下表面压力差，得法向力系数\(c_N\)和轴向力系数\(c_A\)；
通过法向力和轴向力的差求升力、阻力系数，其中\(c_l=c_N-c_A\alpha\)，\(c_d=c_N\alpha+c_A\)，然后令轴向力系数\(c_A=0\)即可（薄机翼，dy=0，\(c_A=0\)）。

攻角\(\alpha\)（公式14，代替掉之前的\(\theta\)），分别考虑上表面和下表面的压力系数：

下表面：

\[\begin{equation} C_{p,l}=\frac{2\alpha}{\sqrt{M_{\infty}^{2}-1}} \end{equation} \]
上表面：

\[\begin{equation} C_{p,u}=-\frac{2\alpha}{\sqrt{M_{\infty}^{2}-1}} \end{equation} \]

接下来是升力系数和阻力系数：

升力系数：

\[\begin{equation} c_l=\frac{4\alpha}{\sqrt{M_\infty^2-1}} \end{equation} \]
阻力系数：

\[\begin{equation} c_d=\frac{4\alpha^2}{\sqrt{M_\infty^2-1}} \end{equation} \]

但是，实际翼型并非薄翼型，因此我们需要对上述公式进行修正。

对双楔形翼型：

\[\begin{equation} c_{l}=\frac{4\left[\alpha+(t/c)\right]}{\sqrt{M_{\infty}^{2}-1}} \end{equation} \]

\[\begin{equation} c_d=\frac{4\left[\alpha^2+(t/c)^2\right]}{\sqrt{M_\infty^2-1}} \end{equation} \]

而对于双凸翼型，即一般的翼型（如NACAXXXX），表面曲率是连续变化的，不能用简单的厚度/弦长比描述几何参数。

对于有限翼展机翼：（这里角标变大了，表示考虑的是三维机翼，而非二维翼型了）

升力系数：

\[\begin{equation} C_L=\frac{4\alpha}{\sqrt{M_\infty^2-1}}\left[1-\frac{1}{2(AR)\sqrt{M_\infty^2-1}}\right] \end{equation} \]
诱导阻力系数：

\[\begin{equation} C_{D_i}=\frac{4\alpha^2}{\sqrt{M_\infty^2-1}}[1-\frac{1}{2(AR)\sqrt{M_\infty^2-1}}] \end{equation} \]

此外，对于平板翼型，计算可知其气动中心/压力中心在可压缩流动下，位于\(\frac{1}{2}\)弦长处，对于不可压缩流动为\(\frac{1}{4}\)弦长处。

高超声速流动

牛顿流模型

高超声速条件下，激波层很薄，且几乎贴近物面，自由来流的流体质点沿着流线穿过激波后，将近似沿着物面向下游流走。

这就好像流体粒子撞击到物面，损失法向动量，保留物面切向动量一样。

引入牛顿流模型，假设流动介质由大量彼此无关的粒子组成。

这虽然和一般的连续介质模型不符，但对于高超音速流动，由于惯性力远大于压力，气流的动能远大于热力学能，流体质点之间的随机运动效应较弱，也可以说粒子之间的相互作用较弱，因此可用该模型处理高超声速流动问题。

通过比较因颗粒撞击板产生的动量变化率与颗粒通过时的质量流量率，以及板上力的变化，我们可以求解压力系数。

考虑如上图所示的流动。

物面上的切向质量流量为：\(\rho_{\infty}\mathrm{AV}_{\infty}\mathrm{sin}\theta\)；

质量流量\(\times\)法向速度改变=法向动量随时间变化的速率：

\[\begin{equation} \begin{pmatrix}\rho_\infty V_\infty A\sin\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}V_\infty\sin\theta\end{pmatrix}=\rho_\infty V_\infty^2A\sin^2\theta \end{equation} \]

根据牛二，易得法向力\(N=\rho_{\infty}V_{\infty}^{2}A\sin^{2}\theta\)，故每单位面积法向力为：

\[\begin{equation} \frac{N}{A}=\rho_{\infty}V_{\infty}^{2}\sin^{2}\theta \end{equation} \]

牛顿假设，来流是由单个微团组成的，且所有微团做方向相同的直线运动，即来流中的粒子彼此不存在相互作用，且没有随机运动。

此外，自由来流的静压\(p_{\infin}\)恰表示了流体质点随机运动所导致的压力值，因而物面感应到的真实压力为\(p-p_{\infin}\)（由于物体的存在引起的压力增量，注意自由来流自身是存在压力的）：

\[\begin{equation} p-p_{\infty}=\rho_{\infty}V_{\infty}^{2}\sin^{2}\theta \end{equation} \]

这样易得压力系数：

\[\begin{equation} C_{p}=2\sin^{2}\theta \end{equation} \]

对于钝体，牛顿正弦平方定律（Newton's sine-squard law）预测，当来流马赫数趋于无穷大时，1在滞止点处的压力系数最大值\(C_p=2\)。

其证明过程很简单：

给定穿过一个正激波的一维动量方程：\(p_\infty+\rho_\infty V_\infty^2=p_2+\rho_2V_2^2\)
在高超声速下，\(\rho_{\infty}V_{\infty}{}^{2}>>\rho_{2}V_{2}{}^{2}\)，故有\(p_2-p_\infty=\rho_\infty V_\infty^2\)，易证明\(C_p=\frac{p_2-p_\infty}{0.5\rho_\infty V_\infty^2}=2\)

修正牛顿流模型

牛顿压力公式在\(Ma_{\infty}\rightarrow\infty,~\gamma\rightarrow1\)时是准确的，但此时该式使用的密度比将趋于无穷大。

但事实上，在极高温度下，空气密度比不可能小于1/20。

由于马赫数是运动气体压缩性的衡量标准，因此可设法把马赫数的影响，引入牛顿公式中进行修正。

首先，正激波后的滞止压力，等于来流静压\(\times\)正激波前后压力比：

\[\begin{equation} p_{0,2}=p_{\infty}(\frac{p_{0,~2}}{p_1}) \end{equation} \]

然后，可计算驻点处最大压强系数：

\[\begin{equation} C_{p,~max}=\frac{p-p_{\infty}}{\frac{1}{2}\rho_{\infty}U_{\infty}^{2}}=\frac{2}{\gamma M_{\infty}^{2}}(\frac{p_{0,2}}{p_{\infty}}-1) \end{equation} \]

其中，驻点p在这里写成\(p_{0,2}\)，0表示滞止，2表示激波后的区域2；

\(\frac{p_{0,2}}{p_{\infty}}-1\)表示归一化后的正激波滞止压力，和自由来流静压的压力差。

然后，引入修正牛顿定律（Modified Newtonian law）：

\[\begin{equation} C_p=C_{p,max}\sin^2\theta \end{equation} \]

升力、阻力系数

用压力差积分求法向、切向力，然后变换得升力、阻力系数的思路是一样的。

当然现在可以直接写出下表面压力系数：

\[\begin{equation} C_{_{p,l}}=2\sin^2\alpha \end{equation} \]

但对于上表面，它没有直接受到自由流粒子的影响，上表面只有自由流压力作用，因此\(C_{p,u}=0\)。

这样积分出的法向力为：

\[\begin{equation} \begin{aligned} c_{N}&=\frac{1}{c}\int_{0}^{c}(C_{p,l}-C_{p,u})dx \\&=\frac{1}{c}\int_{0}^{c}(2\sin^{2}\alpha-0)dx \\&=\frac{1}{c}(2\sin^2\alpha)c \\&=2\sin^2\alpha \end{aligned} \end{equation} \]

这样易得：

升力系数：

\[\begin{equation} c_{I}=c_{N}\cos\alpha=2\sin^{2}\alpha\cos\alpha \end{equation} \]
阻力系数：

\[\begin{equation} c_d=c_N\sin\alpha =2\sin^{3}\alpha \end{equation} \]
升阻比：\(\frac{L}{D}=\cot \alpha\)