2.1 湍流特别篇1：壁面函数
前言
CMT Coursework 1第一题，自己写的解答，供参考。
正文
\(U^{+}\), \(k\) 和 \(\varepsilon\)
\(U^{+}\)
根据普朗特混合长度理论，如果有一个流体微粒在压力梯度的驱动下从位置 \(y\) 移动到 \(y + l\)。我们定义混合长度 \(l\) 为流体微粒在与周围环境充分混合并失去自身物理性质之前可以移动的距离。
考虑移动的流体微粒，在运动开始时，其速度为 \(u(y)\)；在其新位置，周围流体的速度为 \(\bar{u}(y + l)\)。
流体微粒的目的地的局部流体速度与其原始速度之间存在差异。因此，存在水平速度波动 \(u'\)：
\[\begin{equation}
u'=u(y)-\bar{u}(y+l)
\end{equation}
\]
使用泰勒级数展开，\(y + l\) 处的局部平均速度可以表示为：
\[\begin{equation}
\bar u(y+l)\approx\bar u(y)+l\frac{d\bar u}{dy}
\end{equation}
\]
结合公式1和公式2可得：
\[\begin{equation}
u'=u(y)-\left[\bar{u}(y)+l\frac{d\bar{u}}{dy}\right]=-l\frac{d\bar{u}}{dy}
\end{equation}
\]
这里考虑不可压缩流动。速度场的散度为零，流体体积保持不变，流入和流出速度平衡：
\[\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0
\end{equation}
\]
使用雷诺平均，速度被分解为一个时间段内的平均分量和一个随时间变化的脉动分量。因此：
\[\begin{equation}
\frac{\partial(\overline{u}+u')}{\partial x}+\frac{\partial(\overline{v}+v')}{\partial y}=0
\end{equation}
\]
对于时间平均后的横向速度 \(\bar{u}\)，流动被假定为充分发展的，这意味着在横向上没有梯度，即 \(\frac{d\bar{u}}{dy}=0\)。此外，假定在时间平均后没有垂直方向的流动，\(\overline{v}=0\)。因此，我们有：
\[\begin{equation}
\frac{\partial u^{\prime}}{\partial x}+\frac{\partial v^{\prime}}{\partial y}=0
\end{equation}
\]
使用特征长度尺度 \(l\) 来描述湍流脉动分量的空间变化，我们有：
\[\begin{equation}
\frac{\partial u^{\prime}}{\partial x}\approx\frac{u^{\prime}}{l_x},\quad\frac{\partial v^{\prime}}{\partial y}\approx\frac{v^{\prime}}{l_y}
\end{equation}
\]
其中 \(l_x\) 和 \(l_y\) 分别是横向和纵向的特征长度。在假设脉动尺度较小（相对于平均流动）的情况下，近似认为 \(l_x \approx l_y \approx l\)，因此我们有：
\[\begin{equation}
v'=-\frac{l_y}{l_x}u'\approx -u'
\end{equation}
\]
这也符合以下物理分析：
- 首先，由于流向速度梯度及其脉动的存在，流体微团将在垂直方向上受到不平衡的压力和粘性应力，诱导出垂直方向的脉动运动；
- 此外，考虑到连续性方程，速度脉动的综合空间变化满足质量守恒（可能类似于 SIMPLE 算法，例如 \(u_w + v_s = u_e + v_n\)）。
所以这里我们认为 \(v'\) 和 \(u'\) 的量级应该相似。
此外，在近壁面边界层中，有大量的流体微团做脉动运动，引起两层流体之间的动量交换。
当 \(v'<0\) 时，认为把上面更高流向速度的质点带到下层，此时 \(u'>0\)，故二者符号应当相反。
结合这些现象，我们可以知道剪切应力应该是正值，其量级为 \(\rho \cdot (l\cdot \partial \bar{u} / \partial y)^2\)。考虑到符号修正，将比例系数设定为 1，则剪切应力可以写成：
\[\begin{equation}
\tau^{(t)}=\rho\cdot l^2\cdot\left|\frac{\partial\overline{u}}{\partial y}\right|\cdot\frac{\partial\overline{u}}{\partial y}
\end{equation}
\]
接下来，假设对于两平行板之间近壁面处的不可压缩湍流，混合长度 \(l=\kappa y\)，其中 \(\kappa\) 被称为冯·卡门常数。此外，题目还假设，湍流应力等于壁面切应力，即 \(\tau^{(t)}=\tau_w\)。由于速度梯度 \(\frac{d\bar{u}}{dy}\) 是正值，故有：
\[\begin{equation}
\tau^{(t)}=\tau_w=\rho\cdot\kappa^2\cdot y^2\cdot (\frac{\partial\overline{u}}{\partial y})^2
\end{equation}
\]
接下来，引入摩擦速度 \(u_{\tau}\)，定义为：
\[\begin{equation}
u_{\tau}=\sqrt{\frac{\tau_w}{\rho}}
\end{equation}
\]
代入到剪切应力表达式，开方：（\(U=\bar{u}=\) \(x\) 方向或主流方向上的时间平均速度）
\[\begin{equation}
\frac{dU}{dy}=\frac{u_{\tau}}{\kappa y}
\end{equation}
\]
积分：
\[\begin{equation}
\frac{U}{u_{\tau}} = \kappa \ln y + C_1
\end{equation}
\]
引入新常数 \(C=C_1-\frac{1}{\kappa} \ln \frac{\nu_l}{u_{\tau}}\)：
\[\begin{equation}
\frac{U}{u_{\tau}} = \kappa \ln \frac{y\nu_l}{u_{\tau}} + C
\end{equation}
\]
注意到无量纲速度 \(U^+=\frac{U}{u_{\tau}}\)，无量纲的离壁面距离 \(y^+=\frac{y\nu_l}{u^*}\)，有：
\[\begin{equation}
U^+=\frac{1}{\kappa} \ln y^+ + C
\end{equation}
\]
\(k\) 和 \(\varepsilon\)
由于当地剪应力等于壁面切应力，\(\tau^{(t)}=\tau_w\)，并考虑公式 (12)，可以推导出以下两个关系：
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
-\overline{u'v'} &\approx u_\tau^2\\
\frac{\partial U}{\partial y} &= \frac{u_{\tau}}{\kappa y}
\end{aligned}
\end{equation}
\]
对于不可压缩流体，基于 Navier-Stokes 方程，湍动能生成率 \(P_k\) 定义为（这里只考虑雷诺切应力引起的湍动能生成）：
\[\begin{equation}
P_k=-\overline{u'v'}\frac{\partial\overline{u}}{\partial y}
\end{equation}
\]
将上述两个关系代入 \(P_k\)，并注意到 \(P_k=\varepsilon\)，可得：
\[\begin{equation}
P_k=\frac{u_{\tau}^3}{\kappa y} = \varepsilon
\end{equation}
\]
这就是近壁面对数层高速湍流流动的湍动能耗散率。
接下来，考虑湍流粘度 \(\nu_t\)：
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
\nu_t &= -\frac{\overline{u'v'}}{\frac{\partial\overline{u}}{\partial y}}\\
&= \kappa u_\tau y
\end{aligned}
\end{equation}
\]
由湍流粘度的定义：
\[\begin{equation}
\nu_t=C_{\mu} \frac{k^2}{\varepsilon}
\end{equation}
\]
结合上述三个关系式，即公式18、19、20，我们得到：
\[\begin{equation}
k=\frac{u_{\tau}^2}{\sqrt{C_\mu}}
\end{equation}
\]
\(C_{1_{\varepsilon}}\)和\(C_{2_{\varepsilon}}\)
在标准 \(k-\varepsilon\) 模型中，湍动能耗散率方程表示为：
\[\begin{equation}
\frac{D\varepsilon}{Dt} = \frac{\partial}{\partial x_j}
\left[(\nu+\nu_t)\frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j}\right]
+(C_{1_{\varepsilon}}P_k-C_{2_{\varepsilon}}\varepsilon)
\frac{\varepsilon}{k}
\end{equation}
\]
基于给定的条件和前面的推导过程，可以得出以下结论：
- 在近壁面对数层中，分子粘度 \(\nu\) 可以忽略。
- 参考公式18并对其求导，我们得到：
\[\begin{equation}
\frac{d\varepsilon}{dy} = -\frac{u_{\tau}^3}{\kappa y^2}
\end{equation}
\]
\[\begin{equation}
\frac{d}{dy}\left(\frac{\nu_t}{\sigma_{\varepsilon}}\frac{d\varepsilon}{dy}\right)
= \frac{u_{\tau}^4}{\sigma_{\varepsilon} y^2}
\end{equation}
\]
接下来，结合公式18和公式21，考虑耗散项：
\[\begin{equation}
\frac{\varepsilon^2}{k}(C_{1_{\varepsilon}} - C_{2_{\varepsilon}})
= \frac{u_{\tau}^4 \sqrt{C_{\mu}}}{(\kappa y)^2}
(C_{1_{\varepsilon}} - C_{2_{\varepsilon}})
\end{equation}
\]
- 对于本题，考虑稳态流动，我们有 \(\frac{D\varepsilon}{Dt}=0\)。
结合上述结论，湍动能耗散率方程可以简化为：
\[\begin{equation}
\frac{d}{dy}\left(\frac{\nu_t}{\sigma_{\varepsilon}}\frac{d\varepsilon}{dy}\right)
+ \frac{\varepsilon^2}{k}(C_{1_{\varepsilon}} - C_{2_{\varepsilon}}) = 0
\end{equation}
\]
\[\begin{equation}
\frac{u_{\tau}^4}{\sigma_{\varepsilon} y^2}
+ \frac{u_{\tau}^4 \sqrt{C_{\mu}}}{(\kappa y)^2}
(C_{1_{\varepsilon}} - C_{2_{\varepsilon}}) = 0
\end{equation}
\]
\[\begin{equation}
\frac{1}{\sigma_{\varepsilon}} +
\frac{\sqrt{C_{\mu}}}{\kappa ^2}
(C_{1_{\varepsilon}} - C_{2_{\varepsilon}}) = 0
\end{equation}
\]
\[\begin{equation}
C_{1_{\varepsilon}} = C_{2_{\varepsilon}} - \frac{\kappa ^2}{\sigma_{\varepsilon}\sqrt{C_{\mu}}}
\end{equation}
\]
因此，证明完毕。
