替罪羊树的效率

（来自算法导论十七章摊还分析思考题 $\bold{17-3}$，「摊还加权平衡树」）

想当年替罪羊树可能是我第一个学习的平衡树。。。但是很少有人说明它均摊 $O(\lg n)$ 的效率是从何而来，正巧在看算导的时候有这样一个题，遂开写。

这玩意是一种 Weighted Balance Tree，靠重构来维护一个均摊较好的性能。

具体地说，选一个在 $\frac{1}{2}\leq\alpha< 1$ 之间的一个常数 $\alpha$ 作为平衡因子。如果一个节点 $u$ 的左右子树的大小都不大于 $\alpha\operatorname{size}(u)$，那么我们认为 $u$ 是 $\alpha$ 平衡的，若所有节点都是 $\alpha$ 平衡的那么这棵树就是 $\alpha$ 平衡的。

首先说明如果 $T$ 对于 $\alpha\ (\frac{1}{2}\leq\alpha<1)$ 是平衡的，那么这棵树的树高是 $O(\lg n)$。对于一个点 $u$ 从根开始向下走，每向下走一步那么以它为根的子树大小至多乘上 $\alpha$，叶子的大小为 $1$，即 $n\alpha^{h}=1$，得到 $h=\log_{\alpha}\frac{1}{n}=\log_{\frac{1}{\alpha}}n=O(\lg n)$。

如此我们就知道了一棵平衡的替罪羊树它的查询效率是 $O(\lg n)$ 的，接下来我们着重分析它是如何在插入操作中维护平衡。

对于节点 $u\in T$ 及它的左右儿子 $u_l,u_r$ 定义

$$\Delta(u)=|\operatorname{size}(u_l)-\operatorname{size}(u_r)|$$

定义势能函数

$$\Phi(T)=\frac{\sum_{u\in T,\Delta(u)\geq 2}\Delta(u)}{2\alpha-1}$$

首先证一个引理是对于 $\alpha=\frac{1}{2}$ 平衡的 $T$ 的势能为 $0$。若势能大于 $0$ 则存在 $u\in T$ 有 $|\operatorname{size}(u_l)-\operatorname{size}(u_r)|\geq 2$，不妨设是 $\operatorname{size}(u_l)-\operatorname{size}(u_r)\geq 2$，由于它是 $\frac{1}{2}$ 平衡的，故有 $\operatorname{size}(u_l)\leq\frac{\operatorname{size}(u)}{2}=\frac{\operatorname{size}(u_l)+\operatorname{size}(u_r)+1}{2}$ 即 $\operatorname{size}(u_l)\leq\operatorname{size}(u_r)+1$，带到最初的式子中有 $\operatorname{size}(u_r)+1-\operatorname{size}(u_r)\geq 2$ 即 $1\geq 2$ 导出矛盾。

重构操作在 $O(\operatorname{size}(u))$ 的时间下将 $\operatorname{subtree}(u)$ 重构为 $\frac{1}{2}$ 平衡的，这可以直接像类似线段树建树的分治方法做到。下面我们将证明重构操作是均摊 $O(1)$ 的。

重构操作的均摊代价为

$$\begin{aligned} \hat{c}&=O(\operatorname{size}(u))+\Delta\Phi(T)\\ &=O(\operatorname{size}(u))+\Delta\Phi(\operatorname{subtree}(u))\\ &=O(\operatorname{size}(u))+0-\frac{\sum_{v\in\operatorname{subtree(u)},\Delta(v)\geq 2}\Delta(v)}{2\alpha-1}\\ \end{aligned}$$

我们考察 $u$ 的情况，它是 $\alpha$ 不平衡的，不妨设 $\operatorname{size}(u_r)>\operatorname{size}(u_l)$，则有

$$\begin{aligned} \Delta(u)&=\operatorname{size}(u_r)-\operatorname{size}(u_l)\\ &\geq \alpha\operatorname{size}(u)+1-(1-\alpha)\operatorname{size}(u)+1\\ &=(2\alpha-1)\operatorname{size}(u)+2\\ \end{aligned}$$

它是大于 $2$ 的，故我们想用它来支付掉均摊代价

$$\begin{aligned} \hat{c}&\leq O(\operatorname{size}(u))-\frac{\Delta(u)}{2\alpha-1}\\ &\leq O(\operatorname{size}(u))-\frac{(2\alpha-1)\operatorname{size}(u)}{2\alpha-1}\\ &=O(1)\\ \end{aligned}$$

最终得到重构的均摊代价是 $O(1)$ 的。

接下来考虑分析插入，维护 $\alpha$ 平衡的情况下，其实际代价是树高 $h=O(\lg n)$，插入一个点会使一条链上的 $\Delta$ 均增或减 $1$，而这个增量也不会超过树高 $h$。

$$\begin{aligned} \hat{c}&=h+\Delta\Phi(T)\\ &\leq h+\frac{h}{2\alpha-1}\\ &=(1+\frac{1}{2\alpha-1})h\\ &=O(\lg n) \end{aligned}$$

综上我们这样维护替罪羊树：如普通二叉搜索树的方式一样插入查询，插入完成时检查是否存在点不满足 $\alpha$ 平衡，若存在则找到深度最低的不平衡点再将以其为根的子树进行重构，这样可以保证在插入和查询的时候整棵树是 $\alpha$ 平衡的。根据上面的分析，所有的操作都将在 $O(\lg n)$ 的均摊效率下运行。