Kruskal算法证明（转载）

1、算法概述

用于生成连通无向图的最小代价生成树。

2、算法步骤

步骤一：T是边的集合，其初始状态为空；

步骤二：从原图剩余边中选取一条最小代价的边；

步骤三：看其是否与当前T中其它边构成环路；

步骤四：如果未构成环路，则加入T中；否则，丢弃该边；

步骤五：是否还有剩余边，如果有则返回步骤二，否则，程序结束。

3、算法证明

要证明Kruskal算法生成的是最小生成树，我们分两步来证明：

（1）Kruskal算法一定能得到一个生成树；

（2）该生成树具有最小代价。

证明如下：

（1）假设该算法得到的不是生成树，根据树的定义，就有两种情形，第一是得到的图是有环的，第二就是得到的图是不连通的。由于算法要求每次加入边都是无环的，所以第一种情形不存在，下面就只需证明第二种情形不存在即可。

假设得到的图是不连通的，则至少包含两个独立的的边集，假设其中一个为E，则E中边对应的所有点都无法到达其它边集对应的点（否则，根据算法定义，相应的联系边应被加入树中），而这与原图是连通的产生矛盾，因此，第二种情形也不可能存在。得证。

（2）假设图有n个顶点，则生成树一定具有n-1条边.由于图的生成树个数是有限的，所以至少有一棵树具有最小代价，假设该树为U。先做出如下假设：

1)得到的树为T。

2)U和T中不同的边的条数为k,其它n-1-k条边相同，这n-1-k条边构成边集E。；

3)在T中而不在U中的边按代价从小到大依次为a1，a2，...，ak。

4)在U中而不在T中的边按代价从小到大依次为x1，x2，...，xk。

现在我们通过把U转换为T（把T的边依次移入U中），来证明U和T具有相同代价。

首先，我们将a1移入U中，由于U本身是一棵树，此时任意加一条边都构成回路，所以a1的加入必然产生一条回路，且这条回路必然包括x1，x2，...，xk中的边。（否则a1与E中的边构成回路，而E也在T中，这与T中无回路矛盾。）

在这个回路中删除属于x1，x2，...，xk且代价最大边xi构成一个新的生成树V。

假设a1代价小于xi，则V的代价小于U，这与U是最小代价树矛盾，所以a1不可能小于xi。

假设a1大于xi，按照Kruskal算法，首先考虑代价小的边，则执行Kruskal算法时，xi应该是在a1之前考虑，而a1又在a2，...，ak之前考虑，所以考虑xi之前，T中的边只能是E中的边，而xi既然没加入树T，就说明xi必然与E中的某些边构成回路，但xi和E又同时在U中，这与U是生成树矛盾，所以a1也不可能大于xi。

因此，新得到的树V与T具有相同代价。

依次类推，把a1，a2，...，ak的边逐渐加到U中，最终得到的树（T)与U代价相同。

证明结束。

 

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