CF1863C 题解

CF1863C MEX Repetition 题解

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Description

给你一个长度为 $n$ 的序列 $a$，满足 $\mathrm{\forall }i\in [1,n]$，$0\le a_i\le n$ 且序列中的数互不相同。

定义一次操作为：

• 按照 $i$ 从 $1$ 到 $n$ 的顺序，$a_i\leftarrow \mathrm{MEX}(a_1\dots a_n)$。

注意：一次操作中的每一步改变 不是 同时进行的，即每一步求 $\mathrm{MEX}$ 的序列 $a$ 都在上一步被改变。

你需要求出经过 $k$ 次操作之后的序列 $a$。

本题有多组测试数据，$1\le T,n,\sum n\le {10}^5$，$1\le k\le {10}^9$。

Solution

看到题目，让我们先来模拟一下。

$$\begin{array}{c}\{1,2,3,4,5\}\\ \{0,1,2,3,4\}\\ \{5,0,1,2,3\}\\ \{4,5,0,1,2\}\\ \{3,4,5,0,1\}\\ \{2,3,4,5,0\}\\ \{1,2,3,4,5\}\end{array}$$

很容易知道，我们在替换时，第一个数总是在上次没出现的数。然后没出现的数就变成了刚才被替换掉的数。假设经过第 $i$ 次替换的序列中第 $j$ 个数是 $a_{i,j}$，那么有 $a_{i,1}=a_{i-2,n}$，$\mathrm{\forall }j\in [2,n]$，$a_{i,j}=a_{i-1,j-1}$。

虽然我们推出了规律，但这玩意是 $O(nk)$ 的，炸裂 TLE。

但我们可以尝试找一找规律，如果看上面的看不出来就看看下面这个吧。

$$\begin{array}{c}\{1,2,3,4,5,(0)\}\\ \{0,1,2,3,4,(5)\}\\ \{5,0,1,2,3,(4)\}\\ \{4,5,0,1,2,(3)\}\\ \{3,4,5,0,1,(2)\}\\ \{2,3,4,5,0,(1)\}\\ \{1,2,3,4,5,(0)\}\end{array}$$

发现什么了嘛，其实每次的只是相当于上一次平移了一下，因为当前没有的就是刚被替换掉的。

于是我们只需要找到起始的数字就可以了。由于每次移动一个，初始的位置就是 $(1-k)mod(n+1)$。负数取模请自行处理。

答案从起始位置输出 $n$ 个就可以了。

Codes

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define max_n 310101
void read(int &p)
{
    p = 0;
    int k = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9')
    {
        if (c == '-')
        {
            k = -1;
        }
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9')
    {
        p = p * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    p *= k;
    return;
}
void write_(int x)
{
    if (x < 0)
    {
        putchar('-');
        x = -x;
    }
    if (x > 9)
    {
        write_(x / 10);
    }
    putchar(x % 10 + '0');
}
void writesp(int x)
{
    write_(x);
    putchar(' ');
}
void writeln(int x)
{
    write_(x);
    putchar('\n');
}
int T,n,k;
int nums[max_n],vis[max_n];
void solution()
{
    read(n),read(k);
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        read(nums[i]);
        vis[nums[i]] = 1;
    }
    for(int i = 0;i <= n;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            nums[0] = i;
            break;
        }
    }
    int beg = (n + 2 - (k % (n + 1))) % ( n + 1);
  //  cout<<"@"<<beg<<endl;
    for(int i = 1;i <= n;i++,beg++)
    {
        writesp(nums[beg % (n + 1)]);
    }
    puts("");
    for(int i = 0;i <= n;i++)
    {
        vis[i] = 0;
    }
}
signed main()
{
   // freopen("1.in","r",stdin);
    read(T);
    while(T--)
    {
        solution();
    }
    return 0;
}