HDU 3117 Fibonacci Numbers

思路：

对于小于1e8的斐波那契数，直接打表输出即可；
对于大于1e8的数，我们需要分别计算它的前四位和后四位；
计算前四位：
1.斐波那契数的通项公式为：
$f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]$
记我们要算s的前四位d，s的长度为len,则
$s=d.xxx*10^{len-4}$
两边取lg，得
$\lg s=\lg d.xxx+len-4$
从而得到
$d.xxx=10^{\lg s+4-len}$
根据斐波那契数的通项，我们可以求出当n足够大时，s的近似值
$s=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n$
而s的长度len可以表示为
$len=(int)\lg s+1$
因此我们可以得到最终d的求解公式为
$\left\{ \begin{aligned} \lg s=n*\lg \frac{1+\sqrt{5}}{2}-lg\sqrt{5}\\ \\ d=(int)10^{\lg s-(int)\lg s+3} \end{aligned} \right.$
计算后四位：
由斐波那契数列的性质我们可以得到以下递推矩阵：
$\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} f(n) \\ f(n-1) \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} f(n+1) \\ f(n) \end{matrix} \right]$
因此
$\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] ^{n-1}* \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} f(n) \\ f(n-1) \end{matrix} \right]$
由于右边的行列式是[1,0]因此我们只需计算出n-1次方后取(0,0)位置的值即是答案（当然要在过程中取余）；
计算方法就用矩阵的快速幂，来降低时间复杂度~

代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAX_F=1e8;
vector<int> f(2);
double sq5=sqrt(5);
int first_4(int n){//返回前四位数字 
	double log_s=n*log10((1+sq5)/2)-log10(sq5);
	return (int)pow(10,log_s-(int)log_s+3);
}
typedef vector<int> vec;
typedef vector<vec> mat;
const int MOD=1e4;
mat mul(mat &A,mat &B){ 
	mat C(A.size(),vec(B[0].size()));
	for(int i=0;i<A.size();i++){
		for(int k=0;k<B.size();k++){
			for(int j=0;j<B[0].size();j++){
				C[i][j]=(C[i][j]+A[i][k]*B[k][j])%MOD;
			}
		}
	}
	return C;
}
mat pow(mat A,LL n){
	mat B(A.size(),vec(A.size()));
	for(int i=0;i<A.size();i++) B[i][i]=1;
	while(n>0){
		if(n&1) B=mul(B,A);
		A=mul(A,A);
		n>>=1;
	}
	return B;
}
int main(){
//	freopen("in.txt","r",stdin);
	f[0]=0; f[1]=1;	
	for(int i=2;f[i-1]<MAX_F;i++) f.push_back(f[i-1]+f[i-2]); 
	int n,sz=f.size()-1;
	while(~scanf("%d",&n)){
		if(n<sz) printf("%d\n",f[n]);
		else{
			printf("%d...",first_4(n));
			mat A(2,vec(2));
			A[0][0]=A[0][1]=A[1][0]=1; A[1][1]=0;
			mat B=pow(A,n-1);
			printf("%04d\n",B[0][0]);
		}
	}
	return 0;
}