2022.4.25 RSA学习记录
RSA学习记录
〇.数论基础
1.同余
若a,b为两个整数,且它们的差a- b能被某个自然数m所整除,则称a就模m来说同余于b ,或者说a和b关于模m同余，记为: a≡b(modm)。它意味着: a-b=m*k (k为某一个整数)。
性质
2.模逆元
这个比较难理解，模运算中是没有小数这一说 的，哪来的倒数呢？其实我们理解的话可以抽象地类比实数的逆元，逆元的概念在线性代数中提到，就是两者相乘为1，a和b相乘取余运算以后还为1，那我们当然就很自然的管他们叫模逆元，或者模倒数了，即相乘的取模运算结果为一。
几种求模逆元算法
1.Python第三方包Crypto的inverse()函数
from Crypto.Util.number import inverse
print(inverse(3,7)) # 3是要求逆元的数，7是模数n
2.Python第三方包gmpy2的invert()函数
from gmpy import invert
print(inverse(3,7)) # 3是要求逆元的数，7是模数n
3.欧拉函数
一. RSA原理解析
名称由来：RSA是1977年由罗纳德李维斯特( Ron Rivest)、阿迪.萨莫尔( AdiShamir )和伦纳德.阿德曼( LeonardAdleman) -起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。
首先借用一下bilibili李老师的视频来说明RSA的原理，方便回头复习....
RSA属于非对称加密，我们先了解一下非对称加密的运作流程。
1.1 RSA的非对称加密信息传递
A向B发送信息的过程如下,对应老师最左边的板书.
- 首先B向A传递公钥
- 然后A进行公钥加密算法将明文m变成密文c
- 接着A将生成的密文传递给B
- 最后B进行私钥进行私钥解密算法还原出明文m.
1.2 RSA的具体加解密过程
1.3 RSA的参数含义
后面哪个参数看不懂的话方便回头查阅...
- p&q：两个大质数
- N|n：大整数，也叫模数
- e&d：对应公钥与私钥，互为无反数的两个指数
- (N,e) ：公钥对，有N
- (N,d)：私钥对，也有N
- c和m：密文和明文
- pow(x,y,z)：相当于pow(x,y) % z ,先算x的y次方，如果pow() 有第三个参数z，就对z取模。
- 密钥长度：n的二进制位数。如密钥长度为512表示n用二进制表示有512bit
1.4 RSA安全性分析
对于RSA加密算法，公钥(N,e)是任意公开的，如果要获取明文m的话，我们可以通过 pow(c,d)%N=1 (即 pow(c,d,N)=1）这个条件来推导出m，但是 他需要 私钥d，私钥是我们未知的。
那么获取私钥d则是破译密码的关键所在。
如果读者读懂了前面的生成私钥d加密思路，那么不难推导出，可以用欧拉函数φ(n)=(p-1) * (q-1),再通过d * e ≡ 1 mod φ(N)这两个式子来得到私钥d。
那么我们最后要解决的问题就是如何让大数N分解成为两个质数p&q。
如果N=21的话，分解很容易，三七二十一嘛，但...如果N是个1024位的数字，你再让他分解成两个质数呢？现代估计只有量子计算机可能可以做到,所以RSA是安全的。
难啊！！太难了！！大数太难分解了！！RSA牛逼哇！！
1.5 RSA的数学证明
本人太懒了，先抄xiaoJi师傅的作业。。。
主要用到的两个定理是欧拉定理和费马小定理。
费马小定理：a是整数,p是质数,则a^p==a(mod p),如果a不是p的倍数,还有a^(p-1) ≡ 1(mod p)
ps：过几天再补充这方面内容，请及时监督俺....
二、RSA加密篇
# !/usr/bin/python2.7
# encoding: utf-8
from Crypto.Util.number import *
import gmpy2
# 明文m
msg = 'this_is_my_secret'
# 转成16进制整数
hex_msg=int(msg.encode("hex"),16)
print(hex_msg)
# 素数p
p=getPrime(100)
# 素数q
q=getPrime(100)
# n是两个素数的乘积
n=p*q
# 公钥是n,e，e是一个素数。私钥是n,d
e=0x10001
#
phi=(p-1)*(q-1)
# d是e模 varphi(n) 的逆元，d是由e,p,q可以求解出的
d=gmpy2.invert(e,phi)
print("d=",hex(d))
# 密文c
c=pow(hex_msg,e,n)
print("e=",hex(e))
print("n=",hex(n))
print("c=",hex(c))
三、RSA解密篇
首先使用sage把大数n分解成两个质数相乘
脚本如下
#!/usr/bin/python2.7
# encoding:utf-8
import binascii
import gmpy2
# 两个素数的乘积n
n= 0xe3ff649b5179d9301d75c60ba45fa3d6634706404d5c326e63L
#这边我用sage把n分解出两个质因子,yafu也是可以的
p=1159263421820535873212939666333
q=1234546251533207411074736527871
# 公钥e
e=0x10001
# 密文c
c=0x975f285f0e10f661c5eb3344137c333b5b748fdd94814c933fL
phi=(p-1)*(q-1)
# 逆元d
d=gmpy2.invert(e,phi)
# 明文m
m=pow(c,d,n)
print(hex(m))
print(binascii.unhexlify(hex(m)[2:].strip("L")))
运行结果，确实得到了明文“this_is_my_secret”
