状态估计中的贝叶斯公式推导
X状态,u控制,Z观测
问题根据k-1时刻的状态X,k时刻的观测Z和控制u计算出k时刻的状态概率,公式表达:
P(Xk|Zk,uk,Xk-1)
下面的推导主要一个条件概率公式:
P(X|Y,Z) = P(X,Y,Z)/P(Y,Z)
P(Xk|Zk,uk,Xk-1)=P(Xk,Zk,uk,Xk-1)/P(Zk,uk,Xk-1) (1)公式
把观测Zk按照条件概率公式转换
P(Zk|Xk,uk,Xk-1)=P(Xk,Zk,uk,Xk-1)/P(Xk,uk,Xk-1) =>P(Xk,Zk,uk,Xk-1)=P(Zk|Xk,uk,Xk-1)P(Xk,uk,Xk-1)
P(Zk|uk,Xk-1)=P(Zk,uk,Xk-1)/P(uk,Xk-1)=>P(Zk,uk,Xk-1)=P(Zk|uk,Xk-1)P(uk,Xk-1)
(1)公式转换成:
P(Xk|Zk,uk,Xk-1)=P(Xk,Zk,uk,Xk-1)/P(Zk,uk,Xk-1) =P(Zk|Xk,uk,Xk-1)P(Xk,uk,Xk-1)/P(Zk|uk,Xk-1)P(uk,Xk-1) (2)公式
把P(Xk,uk,Xk-1) 按照条件概率公式转换成P(Xk,uk,Xk-1)=P(Xk|uk,Xk-1)P(uk,Xk-1)
(2)公式转换成:
P(Zk|Xk,uk,Xk-1)P(Xk,uk,Xk-1)/P(Zk|uk,Xk-1)P(uk,Xk-1) =P(Zk|Xk,uk,Xk-1)P(Xk|uk,Xk-1)P(uk,Xk-1)/P(Zk|uk,Xk-1)P(uk,Xk-1)
约分后:
P(Zk|Xk,uk,Xk-1)P(Xk|uk,Xk-1)P(uk,Xk-1)/P(Zk|uk,Xk-1)P(uk,Xk-1)=P(Zk|Xk,uk,Xk-1)P(Xk|uk,Xk-1)/P(Zk|uk,Xk-1) (3)公式
其中k时刻Zk观测 和看时刻的控制uk,k时刻状态Xk-1无关,所以(3)公式
P(Zk|Xk,uk,Xk-1)P(Xk|uk,Xk-1)/P(Zk|uk,Xk-1)=P(Zk|Xk)P(Xk|uk,Xk-1)/P(Zk)所以:
P(Xk|Zk,uk,Xk-1)=P(Xk,Zk,uk,Xk-1)/P(Zk,uk,Xk-1) =P(Zk|Xk)P(Xk|uk,Xk-1)/P(Zk)