组合数学基础

简单写写，如有不对请大佬指正。

排列：

• 符号: $P_m^n$ 或 $A_m^n$

• 意义：从 $m$ 个物品中有序地取出 $n$ 个

• 公式：$P_m^n=\frac{n!}{(n-m)!}$

组合:

• 符号：$C_m^n\mathrm{或}\left({}_n^m\right)$

• 意义：从 $m$ 个物品中无序地取出 $n$ 个

• 公式：$C_m^n=\frac{m!}{n!(m-n)!}$

二项式定理：

$$(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^n{C}_n^i{a}^i{b}^{n-i}$$

• 证明：
  发现在 $(a+b{)}^n$ 展开后，对于乘开每个括号都有两个选择，一种选 $a$，一种选 $b$，所以乘开后将会有 2^n 项，可以肯定的是每一项的次数和必为 $n$ (因为每一项都是 $n$ 个括号展开后得到，每个括号都会贡献一个 $a$ 或 $b$)
  所以 $(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^{n}k{a}^i{b}^n-i$ ($k$ 为系数)，而 $k$ 其实也就是从 $n$ 个括号里选 $i$ 个括号贡献 $a$
  的方案数，即 $k=C_n^i$。

常见恒等式：

• $\left({}_m^n\right)\left({}_k^m\right)=\left({}_k^n\right)\left({}_{m-k}^{n-k}\right)$

证明：自己展开就好了

• $i\left({}_i^n\right)=n\left({}_{i-1}^{n-1}\right)$

证明：自己展开就好了

• $\sum _{j=w}^k\left({}_j^x\right)\left({}_{k-j}^{n-x}\right)=\sum _{i=1}^x\left({}_{w-1}^{i-1}\right)\left({}_{k-w}^{n-i}\right)$

证明：考虑成一共要放 $k$ 个元素，在 $x$ 前至少放 $w$ 个。

• $\sum _{i=0}^m\left({}_n^{n+i}\right)=\left({}_{n+1}^{n+m+1}\right)$

证明：考虑成 $n+1$ 个元素最后一个元素的位置。

• $\sum _{i=0}^n\left({}_i^n\right)\left({}_{k-i}^m\right)=\left({}_k^{n+m}\right)$
  证明：第一个式子理解成从 $n$ 里拿 $i$ 个，从 $m$ 里拿 $k-i$ 个，后一个式子理解为从 $n+m$ 里一共拿 $k$ 个。