拟微分算子

复习

• 多重指标： \(\alpha=(\alpha_1,..\alpha_n)\in \mathbb{N^n},|\alpha|=\alpha_1+....\alpha_n,D_j=-i\frac{\partial}{\partial x_j}\)
• 微分算子 $$P=\sum_{|\alpha|\leqslant m} a_{\alpha}(x)D^{\alpha}$$
• \(P\)的象征 是定义在\(\Omega \times \mathbb{R^n}\)上关于\(\xi\)的多项式函数：$$P(x,\xi)=\sum_{|\alpha|\leqslant m} a_{\alpha}(x)\xi^{\alpha}$$
• \(P\)的\(m\)阶主象征 是关于\(\xi\)的齐次函数$$P(x,\xi)=\sum_{|\alpha|= m} a_{\alpha}(x)\xi^{\alpha}$$
• 分布 满足下面条件的连续线性泛函\(u\)称为分布 $$|\langle u, \phi \rangle | \leqslant C\sup_{x\in K}\sup_{|\alpha| \leqslant m}|\partial^{\alpha}\phi(x)| \ \ \forall \phi|_{\Omega/K}=0 \in C_0^{\infty}(\Omega)$$ 分布的全体构成空间\(\mathcal{D'}(\Omega)\);分布的例子：单点Dirac 质量\(\langle \delta_{x_0},\phi\rangle =\phi(x_0)\)这里的\(x_0 \in \Omega,\phi \in C_0^{\infty}(\Omega)\)
• 分布的导数\(\partial_iu\)$$\langle \partial_ju,\phi \rangle=-\langle u, \partial_j\phi \rangle$$同理，可以定义分布的数乘 \(au\) $$\langle au,\phi \rangle=\langle u, a\phi \rangle$$;还可以定义分布上的微分算子\(P=\sum a_{\alpha}D^{\alpha}\),令\(\ ^tP\phi=\sum (-1)^{|\alpha|}D^{\alpha}(a_{\alpha}\phi)\) $$\langle Pu,\phi \rangle=\langle u, \ ^tP\phi \rangle$$
• 卷积$$u*v(x)=\int u(y)v(x-y)dy=\int u(x-y)v(y)dy$$卷积可以用来做“光滑化": 构造光滑函数族\(\{u_{\epsilon}=u*\phi_{\epsilon}\}\),用它来逼近函数\(u\) $$\int u_{\epsilon}(x)\psi(x)dx \longrightarrow \langle u,\psi \rangle$$
• \(\mathbb{R^n}\)上的傅立叶分析 设\(u \in \mathcal{S},\xi \in \mathbb{R^n}\) 定义$$\hat{u}(\xi)=\int e^{-i\xi x}u(x)dx$$ \(\mathcal{F}u=\hat{u}\)称作是\(u\)的傅立叶变换，算子 \(\mathcal{F}\)具有如下性质： $$\bbox[20px,border:2px solid red]{ \begin{array} . \widehat{D_j u}(\xi)&=\xi_j\hat{u}(\xi) \ \widehat{\tau_y u}(\xi)&=e^{iy\xi}\hat{u}(\xi) \
  \widehat{x_ju}(\xi)&=-D_j\hat{u}(\xi)\ (\widehat{e^{i x\eta} u})(\xi)&=\tau_{\eta}\hat{u}(\xi) \end{array}}\tag{a}$$
• 傅里叶逆变换公式 $$u(x)=\frac{1}{(2\pi)^n} \int e^{ix \xi} \hat{u}(\xi) d\xi$$ \(\mathcal{F}\)是\(\mathcal{S}\) 到\(\mathcal{S}\)的同构。

动机

拟微分算子的研究开始于1960年代，最开始见于 Kohn，Hormander 等人的工作。拟微分算子在Atiyah-Singer 指标定理证明扮演了重要角色。[Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M. (1968)]人们将微分方程视作是微分算子所给出的映射，而解微分方程就相当于在某种意义上求算子的逆。我们知道，在微分算子类中，可以有加法和乘法，而除法（求逆）一般是不行的，找到一个合理的除法运算的定义就成为了数学家的目标。众所周知，傅立叶变换可以将自变量空间的微分运算转化成对偶空间的乘以多项式的运算\(\widehat{D_j u}(\xi)=\xi_j\hat{u}(\xi)\)，反之亦然。那么，能否将空间自变量的微分算子求逆运算转化成为对偶空间的除以某个函数的运算？

• 常系数的线性微分算子：$$P(D):=\sum_{\alpha}a_{\alpha}D^{\alpha}\tag{1}$$ 其中：\(\alpha=(\alpha_1,..\alpha_n)\)是多元指标，\(D^{\alpha}:=(-i \partial_1)^{\alpha_1}..(-i \partial_n)^{\alpha_n},a_{\alpha}\)是复数。微分算子（1）作用在\(\mathbb{R^n}\)上具有紧致支集函数\(u(x)\)上。这样的算子可以简单的写成傅立叶变换的组合，简单的写成多项式函数的乘法（象征 Symbol）$$P(\xi)=\sum_{\alpha}a_{\alpha}\xi^{\alpha}$$ 做傅立叶逆变换：$$P(D)u(x)=\frac{1}{(2\pi)^{n}\int_{\mathbb{R}n}}\int_{\mathbb{R^n}}eP(\xi)u(y)dyd\xi\tag{2}$$
• 练习1：推导（2）
• Definition of pseudo-differential operators将拟微分算子视作微分算的推广：一个\(\mathbb{R^n}\)上的拟微分算子\(P(x,D)\)作用在函数\(u(x)\)上得到的依旧是\(x\)的函数$$\bbox[19px,border:2px solid red]{ P(x,D)u(x)=\frac{1}{(2\pi)^{n}\int_{\mathbb{R}n}}e^{ix\cdot\xi}P(x,\xi)\hat{u}(\xi)d\xi\qquad(3) }\tag{3}$$ 这里的\(\hat{u}(\xi)\)是\(u\)的傅立叶变换，\(P(x,\xi)\)属于某个象征类\(S^m\)，比如：如果\(P(x,\xi)\)是\(\mathbb{R^n}\times \mathbb{R^n}\)上无限次可微的函数，满足 $$ \bbox[yellow,15px,border:2px solid red]{
  |\partial^{{\alpha}_{\xi}\partial}{x}P(x,\xi)| \leqslant C(1+|\xi|)^{m-|\alpha|} }\tag{**}$$ 满足这个条件的函数构成\(S^m\)类，这个类里的元素就是象征。

简单例子

• Example1考虑\begin{cases} \Delta u&=0
  inter\ \Omega \ \frac{\partial u}{\partial n}+\sigma u&=g\ on\
  \partial\ \Omega\tag{1} \end{cases}
  在\(\Omega\)内部 \begin{cases} \Delta u&=0\
  u|{\partial\Omega}&=h \end{cases}
  的解记作\(u_h\),则\(u_h\)在边界上的法向导数是\(\frac{\partial u_h}{\partial n}:=G(h)\)
  则方程（1）的第二式可以写成$$\bbox[19px,border:2px solid red]{G(h)+\sigma
  h=g}\tag{2}$$如果（2）可以解出\(h\)来，那么原来的问题就可以解出来。观察\(G\)，它是一个线性算子,我们可以将\(h\)分解，使得它的支集只集中在\(\partial \Omega\)的某些邻域，再做展平就化成区域是\(\mathbb{R^n_{+}}\)的情况,记\(x'=(x_1,x_2,...x_{n-1})\)
  \begin{cases} \Delta u&=0\ \mathbb{R_n^{+}} \ \frac{\partial
  u}{\partial n}+\sigma u&=g\ (x_n=0)\tag{3}\end{cases}
  将（3）式做傅立叶变换，记\(u\)关于\(x'\)的傅立叶变换是\(\hat{u}\) \begin{cases}
  \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial
  x^{2_n}-\vert{\xi'}\vert}2\hat{u}&=0\
  \hat{u}|&=\hat{h}\tag{4}\end{cases}
  解\(\hat{u}=e^{-|\xi'|x_n}\hat{h}\),所以
  \[u(x)=\frac{1}{(2\pi)^{n-1}}\int e^{i x'\cdot \xi'-|\xi'|x_n}\hat{h}(\xi)d\xi$$ 取关于$x_n$的导数 $$\frac{\partial u}{\partial x_n}=\frac{1}{(2\pi)^{n-1}}\int-|\xi'| e^{i x'\cdot \xi'-|\xi'|x_n}\hat{h}(\xi)d\xi\tag{5}\]
  \[\bbox[yellow,15px,border:2px solid red]{\bbox[]{G(h)=\frac{1}{(2\pi)^{n-1}}\int|\xi'| e^{i x'\cdot \xi'}\hat{h}(\xi)d\xi}}\tag{6}$$ $G$是以$|\xi'|$为乘子的**傅立叶乘子算子**。 \]

• Example2 考虑椭圆方程$$-\Delta u+u=f \in \mathbb{R^n}$$ 做傅立叶变换 $$(|\xi|^2+1)\hat{u}(\xi)=-\hat{f}(\xi)$$ 反解出$$u(x)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int e^{{ix\xi}\frac{1}{|\xi|}2+1}\hat{f}(\xi)d\xi$$ 可将上述算子视作\(I-\Delta\)的逆算子。

基本概念

• **$\displaystyle S^m \(函数空间** 设函数\)\displaystyle a(x,\xi)\in C^{{\infty}(\mathbb{R_x}n} \times \mathbb{R_{\xi}^n})$, 满足 $$\displaystyle |\partial^{{\alpha}_{\xi}\partial}{x}a(x,\xi)| \leqslant C(1+|\xi|)^{m-|\alpha|}$$ 则称\(a\in S^m\),记\(\displaystyle S^{\infty}=\bigcup_m S^m,S^{-\infty}=\bigcap_m S^m\) ； 直观上就是这些空间里的函数的导数可以被多项式所控制住。

• 算子的象征\(a(\xi)\) $$\widehat{(a(D)u)(\xi)}=a(\xi)\hat{u}(\xi)$$ 则称函数\(a(\xi)\)是算子\(a(D)\)的象征；一些直观的讨论：这里类似傅立叶变换的第一条性质“变微分为多项式相乘"，甚至可以理解成矩阵里的特征值，一个矩阵作用在它的特征向量上等于特征值乘在特征向量上。对于\(u\in \mathcal{S}\),做傅立叶逆变换： $$(a(D)u)(x)=(2\pi)^{-n} \int e^{ix \xi} a(\xi) \hat{u}(\xi) d\xi$$ $$u(x)=(2\pi)^{-n}\int e^{ix\xi} \hat{u}(\xi)d\xi$$ 直观上讲\(e^{ix\xi} \hat{u}(\xi)\)是\(u\)在频率\(\xi\)上的分量（自行wikipedia），而算子\(a(D)\)作用在\(u\)上的作用只是让振幅\(\hat{u}\)增加了\(a(\xi)\)倍数，而没有改变频率分量。

• 象征演算 $$a(D)b(D)=(ab)(D)$$ 这种现象可以推导出来；这说明，算子的乘积 的象征就是 两个象征之积。

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以下是例子，用来阐述直观，可以先不管

• Laplace 算子的象征 \(P:=\Delta=\partial^2_1+....\partial^2_n\) 的象征是\(a(\xi)=-|\xi|^2\) 我们可以找到满足\(PE=\delta +w\)的分布\(E\) 取$$\hat{E}({\xi})=-\frac{1-\chi(\xi)}{|\xi|^2}$$ 就可以，因为\(\widehat{PE}(\xi)=-|\xi|^2\hat{E}(\xi)=|\xi|^2\frac{1-\chi(\xi)}{|\xi|^2}\);\(P(E*f)=f+w*f\),所以\(u=E*f\)是\(Pv=f\)的近似解，\(w*f\)为误差。留作练习3
• 拟基本解 \(u=E*f\) 它的直观意义？练习4
• 变系数算子 $$P=\sum_{\alpha}a_{\alpha}(x)D^{\alpha}\ \ a_{\alpha}\in \ \mathcal{S}$$ $$ P(x,D)u(x)=\frac{1}{(2\pi)^{n}\int_{\mathbb{R}n}}e^{ix\cdot\xi}P(x,\xi)\hat{u}(\xi)d\xi$$ 这里的$$P(x,\xi)=\sum_{\alpha}a_{\alpha}(x)\xi^{\alpha}$$ 并不需要\(P（x,\xi）\)是\(\xi\)的多项式函数，只要“适当”就好了。所谓适当就是满足如下条件
• \(m\)阶象征 $$|\partial^{\alpha}{\xi}a(x,\xi)| \leqslant C(1+|\xi|)^{m-|\alpha|} \tag{a}$$ 直观上就是导数会被多项式控制； $$|\partial^{\alpha}{x}a(x,\xi)| \leqslant C(1+|\xi|)^{m} \tag{b}$$
  • 历史上，这种处理方法最早出现在寻找一个变系数椭圆算子\(P(D)\)的拟基本解的过程中。当我们试图去找\(Pu=f\)的形如\(u=a(x,D)f\)的解的时候，我们得到$$Pu(x)=\frac{1}{(2\pi)^{n}\int_{\mathbb{R}n}}e^{ix\cdot\xi}p(x,\xi+D)a(x,\xi)\hat{f}(\xi)d\xi$$ 其中 $$p(x,\xi+D)=p(x,\xi)a(x,\xi)+\sum_{\alpha \neq0}\frac{1}{\alpha !}\partial_{\xi}^{{\alpha}p(x,\xi)D}a$$ 练习5 推导上式

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象征的渐近展开

• 概述 我们在\(S^m\)空间里定义某种（2.2.2）范数之后，\(S^m\)函数空间就会变成Frechet 空间，会观察到某些代数运算性质：\(a\in S^m,b\in S^{m'} \Rightarrow ab \in S^{m+m'}\)，在Frechet 拓扑下，这个运算是连续的; 还可以定义某种\(S_0 \subset S^{-\infty},s.t. \forall \varphi(\theta)\in C_c^{\infty}(\mathbb{R^n}) \Rightarrow \varphi a(x,\theta)\in S_0;\) 还有关于\(S_0\) 在\(S^m\)中稠密性质（Th2.2.1）稠密意味着可以使用逼近手段$\displaystyle a_{\epsilon} \to a_0,where\ a_{\epsilon}(x,\xi)=a(x,\epsilon\xi) \(；如同线性偏微分算子，可以由不同阶的微分算子组合而成，拟微分算子的象征也可以被分解成不同指标的\)S^m\(类的函数之和，但是，通常拟微分算子的象征分解成的是无穷和，十分类似于解析函数里的幂级数展开；自然就要定义象征的渐近展开（Df 2.2.3）\)\displaystyle a \thicksim \sum^{\infty}_{j=1} a_j$,但是问题来了，有渐近展开并不意味着这个展开式就收敛，不同的象征也许会有相同的渐近展开，什么条件下渐近展开会唯一确定一个象征？Th2.2.2 和Th2.2.3 回答了这个问题。

• 基本概念
  1.象征的渐近展开式： 设\(\{m_j\}\)是递减的数列，象征\(a_j\in S^{m_j}\),若对于\(\displaystyle \forall k \ge 0, a-\sum_{j=0}^{k}a_j \in S^{m_{k+1}}\),就记$$a \thicksim \sum a_j$$
  2.古典象征：\(a\in S^m\),假如\(a \thicksim \sum a_j\),这里的\(a_j(x,\lambda \xi)=\lambda^{m-j}a_j(x,\xi),|\xi| \ge 1,\lambda \ge 1\),就称\(a\)是古典象征。
  3.Borel 引理： 设\(\{b_j \}\in \mathbb{C}\),则存在光滑函数\(f\in C^{\infty}(\mathbb{R})\) 满足\(\forall j,f_j(0)=b_j\),也就是说\(x\to 0\)时$$f(x)\thicksim \sum b_j \frac{x^j}{j!}$$
  4.性质： 给定一个象征级数\(\sum a_j\),存在\(a\in S^{m_0}\),使得$$a\thicksim \sum a_j$$ 还可以要求$$supp \ a \subset \cup supp\ a_j$$

\(\mathcal{S}和\mathcal{S'}\)中的拟微分算子

• 以\(a\)为象征的拟微分算子\(OP(a)\) $$OP(a)u(x)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int e^{i x\xi}a(x,\xi)\hat{u}(\xi)d\xi$$

• 练习1 证明\([OP(a),D_j]=iOP(\partial_{x_j},a),[OP(a),x_j]=-i Op(\partial_{\xi_j},a)\)

• 算子\(OP(a)\)的核函数\(K(x,y)\) : $$K(x,y)=\frac{1}{(2\pi)^n} \int e^{i(x-y)\xi}a(x,\xi) d\xi$$
  那么$$OP(a)u(x)=\int K(x,y)u(y)dy$$
  练习2：证明$$a(x,\xi)=\mathcal{F}_{y \to \xi}[K(x,x-y)]$$

• 共轭算子 $$(Au,v)=(u,A^*v)$$

• 练习3： 设\(A^*\)存在，它的核函数\(K^*\) 可以被写成 $$K^*(y,x)=\bar{K}(x,y)$$ 利用这个结果再证明

  \[a^*(x,\xi)=\int K^*(x,x-y)e^{-iy\xi}dy=(2\pi)^{-n}\int e^{-y\eta}\bar{a}(x-y,\xi-\eta)dy d\eta \]

• 定理 设\(a\in S^m\),那么\(a^* \in S^m\), $$a^* (x,\xi) \thicksim \sum {\alpha}\frac{1}{\alpha !}\partial^{\alpha} D^{\alpha}_{x} \bar{a}(x,\xi)$$

• \(a_1 \sharp a_2\) 令$$b(x,\xi)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int e^{i(x-y)(\xi-\eta)}a_1(x,\eta)a_2(y,\xi)dyd\eta$$ \(b\)就是关于变量\((y,\eta)\)的卷积。记$$b=a_1\sharp a_2$$

• 定理(算子合成) 设\(a_1\in S^{m_1},a_2\in S^{m_2}\) 有\(OP(a_1)OP(a_2)=OP(b)\in S^{m_1+m_2}\)且 $$b \thicksim \sum_{\alpha} \frac{1}{\alpha!} \partial^{{\alpha}_{\xi}a_1D}_x a_2$$

• 算子的交换子 设\(a_1\in S^{m_1},a_2\in S^{m_2}\)那么\(A_1,A_2\)的交换子$$[A_1,A_2]=A_1A_2-A_2A_1$$ 是\(m_1+m_2-1\)阶算子，其象征$$b=\frac{1}{i}[a_1,a_2]\ mod \ S^{m_1+m_2-2}$$

椭圆算子的逆

• 椭圆算子 存在某个常数\(C>0\),使得\(|\xi|\ge C\)时，有\(|a(x,\xi)|\ge C|\xi|^m\),称\(a(x,\xi)\)是椭圆象征，对应的算子\(A\)成为椭圆算子。

• 等价定理 以下两条是等价的说法：设\(a\in S^m\)
  (1):存在\(b\in S^{-m}\)使得\(a(x,D)b(x,D)-id\in OP(S^{-\infty})\);
  (2):存在\(b\in S^{-m}\)使得\(b(x,D)a(x,D)-id\in OP(S^{-\infty})\).
  满足这一条就可以推出\(a\)是椭圆。

• 如何构造椭圆拟微分算子的逆？
  设\(A\in \Psi^{m}(\Omega)\)是椭圆拟微分算子，必有一个恰当支的椭圆拟微分算子\(B\in \Psi^{-m}(\Omega)\)为其逆，构造如下：

  • 给一个光滑函数\(h(\xi)\)
    $$h(\xi)=\begin{cases}0&|\xi| \leqslant R\
    1&|\xi|\geqslant 2R \end{cases}$$

  • 构造象征\(b_1(x,\xi)=h(\xi)a(x,\xi)^{-1}\)则\(b_1\in S^{-m}\),\(b_1\)对应的算子是\(B_1\)

  • \(AB_1=I-D_1+R_1\)其中\(D_1 \in \Psi^{-1}(\Omega),R_1 \in \Psi^{- \infty}(\Omega)\)

  • \(B_{k+1}=B_1D^k_1\)则\(b_{k+1}\in S^{-m+k}\)

  • \(\displaystyle b(x,\xi) \thicksim \sum_{k=1}^{\infty}b_k(x,\xi)\)

• 简单例子
  考虑\(Au=f\),为了解出它的解\(u=Bv\),我们只需要解出$$v+Kv=f$$ 这里的\(\displaystyle Kv(x)=\int K(x,y)v(y)dy\)。
  特别的，当\(A=\Delta=\partial^2_1+...+\partial^2_n\)的时候，令\(f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)\)在0 附近解，\(B_r\)是0 点附近的半径为\(r\)的球，可以在\(C^{\infty}(B_r)\)中解方程$$v+RK\tilde{v}=f$$
  其中：\(\tilde{v}\)是\(v\)在球外面取0的延拓，R 是限制在球上。在\(L^{\infty}_{(B_r）}\)上面取范数\(|\cdot|_1\),令\(Gv=v\),也就会有\(Gv=f-RK\tilde{v}\).有估计 $$|RK\tilde{v}|1\leqslant \sup|K(x,y)||v|_1r^n $$
  这说明\(r\)充分小的时候，\(G\)是压缩的。
  取\(u=B\tilde{v}\)可得$$AB\tilde{v}=f=\tilde{v}+K\tilde{v}$$
  $$A(Ru)=v+RK\tilde{v}=f$$

• Calderon方法化高阶双曲方程为一阶双曲
  考虑双曲方程
  \begin{cases}
  D^2_tu-A_2(t,x())u&=f\
  D^1_tu|_{t=0}&=g_2\tag{6.1.11}
  \end{cases}
  其中\(A_2\)是二阶拟微分算子，其象征\(a_2\in S^2\),其主象征\(a^0_2(t,x,\xi)\)为\(\xi\)的正齐二次函数,设6.1.11中的算子满足：
  （H1)\(\displaystyle \tau^2-a_2^0(x,\xi)=0\)关于\(\tau\)有两个互异的实数 根；
  （H2）\(|x|\)充分大时，\(a^0_2(t,x,\xi)\)与\(\tau,x\)无关。
  记\(\Lambda^s\)代表以\(\displaystyle (1+|\xi|^2)^{\frac{s}{2}}\)为象征的拟微分算子，引入未知函数向量
  \(\displaystyle U=\bigl( \begin{smallmatrix} u_1 \\ u_2 \end{smallmatrix} \bigr)=\bigl( \begin{smallmatrix} \Lambda^1u \\ D_t u \end{smallmatrix} \bigr)\),可以将方程化作

  \[D_t U-AU=F \]

  这里的$$A=
  \begin{bmatrix}
  0& \Lambda^1 u\
  B_1&B_2
  \end{bmatrix}
  $$
  \(B_j=A_{m-j+1}\Lambda^{j-m}\)是一阶的拟微分算子，象征是\(\displaystyle a_{m-j+1}(1+|\xi|^2)^{\frac{j-m}{2}}\)

• 流形上的拟微分算子 \(A:C_0^{\infty}(M) \to C_0^{\infty} (M)\) ,若\(A\)在每个坐标卡上都有形式\(a(x,D)\) ,其中\(a\)是局部象征。

• 性质7.1 设\(\chi:\Omega \to \Omega'\)是\(\mathbb{R}^n\)开集之间的微分同胚，对于象征\(a\in S^m\),算子\(a(x,D)\)的核函数在\(\Omega \times \Omega\)有紧致支集，那么：
  （1）由\(a'(\chi(x),\eta)=e^{-i\chi(x)\eta}a(x,D)e^{i\chi(x)\eta}\)定义的函数\(a'(y,\eta)\)定义了一个\(S^m\)类的象征。
  （2）\(a'(x,D)\)的核函数在\(\Omega' \times \Omega\)有紧致支集。
  （3）对于\(u\in S'\),\(a(x,D)(u\circ \chi)=(a'(x,D)u)\circ\chi\)

• \(m\)阶拟微分算子 \(A: C_0^{\infty} \to C_0^{\infty}\)被称为m 阶拟微分算子，如果:对以任意的局部坐标卡：\(k:V \to \bar{V} \subset \mathbb{R}^n\),相应的\(\bar{A}u \to [A(u\circ k)]\circ k^{-1}\)是\(\bar{V}\)上的\(m\)阶拟微分算子。即是说：\(\forall \phi,\psi \in C_0^{\infty}(\bar{V}),\phi\bar{A}\psi \in OP(S^m)\),记作\(A \in \Psi^m(M)\).

• 余切丛\(T^*M\)

• \(T^*M\):\(M\)上的一形式构成的丛；

• \((m,\omega)\in T^*M \Rightarrow m \in M,\omega\)是\(T_mM\)上的线性形式。

• \(\pi:T^*M \to M,\pi(m,\omega)=m\)

• \(\pi^{-1}(m)\)称为纤维，是\(T_mM\)的对偶空间。

• 纤维丛上的坐标，以及坐标变换：\((x_1,...x_n)\)是\(V \subset M\)上的局部坐标，\((\partial_1,..\partial_n)\) ,\(\displaysytle \omega=\sum^n_{i=1}\xi_i dx^i \in \pi^{-1}(V)\),坐标变换\(x'=\Phi(x)\),则练习：\(\displaystyle \omega=\sum_{i}\xi_i (\sum_j \frac{\partial \psi_i}{\partial x'_j}dx'_j)\)