离散数学--二元关系总结

等价关系：

设 R 是集合 A 上的一个二元关系，若R满足：//都是任意元素

自反性：∀ a ∈A, => (a, a) ∈ R

对称性：(a, b) ∈R∧ a ≠ b => (b, a)∈R

传递性：(a, b)∈R,(b, c)∈R =>(a, c)∈R

则称 R 是定义在 A 上的一个等价关系。设 R 是一个等价关系，若(a, b) ∈ R，则称 a 等价于 b，记作 a ~ b 。

偏序关系：

偏序存在A<B，A<C,则B与C之间无法比较大小的现象。而对应的全序则必须是形如A<B<C的形式。即全序要求每个元素之间都能比较大小，偏序不要求。

现在偏序符号和拟序符号≼或≺ ，以上是老版本了，为了防止混淆起见。

设R是集合A上的一个二元关系，若R满足：//都是任意元素

Ⅰ 自反性：对任意x∈A，有xRx；

Ⅱ 反对称性（即反对称关系）：对任意x,y∈A，若xRy，且yRx，则x=y；

Ⅲ 传递性：对任意x, y,z∈A，若xRy，且yRz，则xRz。^[1] //具有满足传递性的一种情况，前件为假的情况

则称R为A上的偏序关系，通常记作≼。注意这里的≼不必是指一般意义上的“小于或等于”。

若然有x≼y，我们也说x排在y前面（x precedes y）。

基础关系

自反性：∀ a ∈A, => (a, a) ∈ R

反自反：∀ a ∈A, => (a, a) ∉R

对称性：(a, b) ∈R∧ a ≠ b => (b, a)∈R//

反对称：(a, b) ∈R∧(b, a)∈R =>a=b//                这三个注意前件为假的情况

传递性：(a, b)∈R,(b, c)∈R =>(a, c)∈R //

“关系”的闭包（Closure)

离散数学中，一个关系R的闭包，是指加上最小数目的有序偶而形成的具有自反性，对称性或传递性的新的有序偶集，此集就是关系R的闭包。