【高数竞赛准备】多元函数微分学

先祭出神图

个人理解，函数z=f(x,y)在xoy面上确定了一个投影区域D。{(x,y)|（x,y)属于D}也就是说求偏导数时，x和y的取值区间有联系。以对x求偏导为例，，也就是说求导时，虽然求导时把y看作参数，但带入点时可取D中任一元素。如果区域D内存在一点，使得在这点偏导数无定义（一般初等函数，非分段函数，在某点有定义，在某点处就可以求左右导数）使得在这点左右偏导数不相等，那么函数在D上偏导数就不存在。形象地说，就是这个三维平面在那点不光滑。。。。

  类比一元函数，原函数在定义区间连续时，在某点处左导数不等于右导数时，函数不可导。也就是函数的变化率在该点发生了突变，一般有定义的不可导点都是存在于分段函数中的。所以函数在定义区间内可导，导数在定义区间内也一定连续。

（p.s之前去问老师一道证明题把我说晕了，认为函数可导，导函数不一定连续。。。）

而函数f(x,y)连续，并不一定在对x求偏导处的x对任一定义域内的y都满足。

1.偏导数理解：函数f(x,y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时，f(x,y)的变化率。

偏导数的表示符号为:∂。

偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

2.偏导数可微的理解：

引出一道题

 注意可微的定义是存在实数A,B使得Δz=AΔx+BΔy+o((x² +y²)^1/2),然后如果偏导存在又可微的情况下，.

又证实了函数可微和函数可导并没有直接关系，倒是函数可微函数一定连续。毕竟AΔx+BΔy这部分为零了，后面又是高阶无穷小，Δz被AΔx+BΔy线性逼近，就趋近零了，于是我们的函数就连续了。