递归超时怎么破?——动态规划入门
引用一下别的大佬写的介绍还有知乎上的十问十答
搞清楚什么是动态规划,和什么时候用动态规划。
p.s.百度百科和算法数上那一大堆看完也没什么意思,不如从实例入手。掌握分析递推关系才是王道。
集合存储状态+状态转移方程
超级楼梯
共两种爬楼方式——一次上一个台阶&一次上两个台阶,问上到第n阶台阶的方法共多少种。
设状态dp[i]为上i阶台阶的方法种数,dp[1]=1;dp[2]=1; 状态转移方程 dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];//上一阶和两阶
有了该递推式,我们就不用递归暴力解决了。(递归开销是真的大
dp[i][j]为到单元格(i,j)的方法数,dp[0][]=1;dp[][0]=1; dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];//向下走和向右走
public int uniquePaths(int m, int n) { int[][] dp = new int[m][n]; for (int i = 0; i < m; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (i == 0 || j == 0) dp[i][j] = 1; else { dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]; } } } return dp[m - 1][n - 1]; }
进阶:不同路径 II
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) { int row=obstacleGrid.length; int col=obstacleGrid[0].length; int[][] dp=new int[row][col]; if(obstacleGrid[0][0]==1){ return 0; } for(int i=0;i<row;i++){ for(int j=0;j<col;j++){ if(obstacleGrid[i][j]==0){ if(i==0&&j==0){ dp[i][j]=1; }else if(i==0){ dp[i][j]=dp[i][j-1]; }else if(j==0){ dp[i][j]=dp[i-1][j]; }else{ dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]; } }else{ dp[i][j]=0; continue; } } } return dp[row-1][col-1]; }
上面几个都是连续型问题,楼梯台阶连续,走的格子连续。
0-1背包问题
背包的容量j因放入物品的重量w不同,变化非连续,但一般都有额外的空间(表)来存储状态信息。
递归遍历解法:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
int []w={15,17,20,12,9,14}; int []p={32,37,46,26,21,30}; public int solve(int i,int n,int j,int max){ if(i<n){ if(j>=w[i]){ return Math.max(solve(i+1,n,j-w[i],max+p[i]),solve (i+1,n,j,max)); }else{ return solve(i+1,n,j,max); } }else return max; }
dp[i][j]表示前i件物品恰放入一个容量为j的背包可获得的最大价值 dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+p[i]};
public int Packet(int c){ int []w={15,17,20,12,9,14}; int []p={32,37,46,26,21,30}; int packets=w.length; int [][]dp=new int[packets+1][c+1]; for(int i=0;i<=packets;i++) for(int j=0;j<=c;j++){ if(i==0||j==0) dp[i][j]=0; else if(j>=w[i-1]){ dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1]); }else dp[i][j]=dp[i-1][j]; } return dp[packets][c]; }
与贪心算法的每步取”最优“不同,动态规划存储状态信息,并有针对于状态变量的状态转移策略。
dp[i]表示截止到i的最大连续字串和,dp[0]=nums[0]; dp[i]=max{dp[i-1]+nums[i],nums[i]}
class Solution { public int maxSubArray(int[] nums){ int len=nums.length; int[] dp=new int[len]; for(int i=0;i<len;i++) if(i==0) dp[i]=nums[i]; else dp[i]=Math.max(dp[i-1]+nums[i], nums[i]); Arrays.sort(dp); return dp[len-1]; } }
大佬写的经空间优化后的代码:
public int maxSubArray(int[] nums) { int res = nums[0]; int sum = 0; for (int num : nums) { if (sum > 0) sum += num; else sum = num; res = Math.max(res, sum); } return res; }