欧拉回路与中国剩余定理,转
昨天看欧拉回路相关的,以前见过
最难也就是混合图欧拉回路,感觉也还可以接受。但看到有向图版和无向图版的中国邮路问题,才发现欧拉回路其实也是很难的一样东西。中国邮路问题我想很多人
都听说过,但其算法应该很少人知道吧(那些算法书上说中国邮路问题有多项式算法,但却只字不提是什么算法
)。现在找到相关的资料了,但核心问题解法还是没有提出来
。
![](http://img.baidu.com/hi/jx/j_0060.gif)
![](http://img.baidu.com/hi/jx/j_0063.gif)
先说说无向图版的中国邮路问题吧,论文中说的方法是度数为奇数的点抽出来构出一个完全图,边权为两点在原图的最短路径。然后问题的关键就是求这个完全图的 最小权值匹配了。
有向图的解法就相对明朗了,有点像混合图欧拉回路那样。本质都是要满足每个点的出度等于入度。那样就和网络流的性质相对应了,入度大于出度的点就连到源上
且容量为入-出,出度大于入度的点就连到汇点且容量为出-入,然后原图边的容量就全都赋无限大。很明显这样构出的图的任意一个最大流流法都是原题的一个解
(根据网络流每个点流量平衡,源汇不平衡容易证明)。在这基础上给每条边赋上相应的权值,那就变成最小费用最大流了。该算法从感觉上应该是没有错的,但本
人水平有限(费用流还不会)没有实现过。
也许这么经典的问题很少会作为题目出来的了,但欧拉回路的思想还是挺有用的,如果问题能想欧拉回路上靠,那么很多问题都会变得很好办(问题是很难往欧拉回路上靠)。废话就说这么多了,作为图论的第一个被提出的问题,认真地学习一下也是很应该的。
最短路径矩阵的最小全匹配M其实就是n(n-1)/2 个二分图B = (X,Y,E)(|x| = |Y| = n/2)的
最佳匹配,若把所有对奇数点看成新对x,则新的二分图B=(x,y,e)(|x|=|y|=n)的权矩阵,是一个对称
矩阵,它的最佳匹配中,包含完全对称的分布的匹配情况,因为所有Mi均壳看成是新矩阵种完全对称分布的一种匹配,因此,新矩阵的最佳匹配即为最短路径匹配。