约瑟夫环（Josephus）

约瑟夫环

来源http://hi.baidu.com/yangyuhang/blog/item/cd841b7b654f9ff20ad18704.html

已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。

链表方法

　　这个就是约瑟夫环问题的实际场景，有一种是要通过输入n,m,k三个正整数，来求出列的序列。这个问题采用的是典型的循环链表的数据结构，就是将一个链表的尾元素指针指向队首元素。 p->link=head

 

　　解决问题的核心步骤：

　　1.建立一个具有n个链结点，无头结点的循环链表

　　2.确定第1个报数人的位置

　　3.不断地从链表中删除链结点，直到链表为空

void JOSEPHUS(int n,int k,int m) //n为总人数，k为第一个开始报数的人，m为出列者喊到的数
{　
    /* p为当前结点，r为辅助结点，指向p的前驱结点，list为头节点*/
　　LinkList p,r,list;

  　/*建立循环链表*/
    int i;
　  for(i=0,i<n,i++)
　　{
  　   p=(LinkList)malloc(sizeof(LNode));
      p->data=i;
      if(list==NULL) list=p;
      else r->link=p;
      r=p;
　　}
　　p->link=list; /*使链表循环起来*/
  　p=list; /*使p指向头节点*/

    /*把当前指针移动到第一个报数的人*/
　　for(i=0;i<k;i++)
  　{
      r=p; p=p->link;
  　}

  　/*循环地删除队列结点*/
  　while(p->link!=p)
　　{
  　　for(i=0;i<m-1;i++)
     {
        r=p; p=p->link;
  　　}
  　　 r->link=p->link;
    　 printf("被删除的元素：%4d ",p->data);
       free(p);
       p=r->link;
　　}
      printf("\n最后被删除的元素是：％4d",P->data);
}

 

Josephus(约瑟夫)问题的数学方法

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

 

　　为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

 

　　问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。我们知道第一个人(编号一定是m-1%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）: k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2。并且从k开始报0。

 

　　现在我们把他们的编号做一下转换：

 

　　k --> 0

 

　　k+1 --> 1

 

　　k+2 --> 2

 　 ... 

　　...

 　 k-3 --> n-3

 　 k-2 --> n-2

 

　　变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x‘=(x+k)%n，如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式： 

　　令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

 

　　递推公式

 

　　f[1]=0;

  　f=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

 

　　有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1

  　由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：

 

　　#include <stdio.h>

 　　int main(void)

 　　{

 　　int n, m, i, s=0;

 　　printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);

 　　for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;

   　printf ("The winner is %d\n", s+1);

 　　}

 

　　这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。