工程数学实验四

上机实验四：共轭梯度法程序设计

1、基本要求

掌握共轭梯度法的基本思想及其迭代步骤；学会运用MATLAB编程实现常用优化算法；能够正确处理实验数据和分析实验结果及调试程序。

2、主要内容

（1）求解无约束优化问题：

（2）终止准则取；

（3）完成FR共轭梯度法的MATLAB编程、调试；

（4）选取几个与实验二实验三中相同的初始点，并给出相关实验结果的对比及分析（从最优解、最优值、收敛速度（迭代次数）等方面进行比较）；

（5）按照模板撰写实验报告，要求规范整洁。

3、操作要点

（1）通过编程实现FR共轭梯度法；

（2）使用MTALAB调试程序，并将实验结果保存到文件中；

（3）撰写实验报告。

4、主要仪器设备

微机及Matlab软件

 

 

FR:

 

function [x, iter] = FR(func, x0, tol, max_iter)

 

% func - Ŀ�꺯�����ַ�����ʾ���� 'x1^2 + 10*x2^2'

 

% x0 - ��ʼ�㣬������

 

% tol - ����Ҫ���ݶȵ�ģ��

 

% max_iter - ����������

 

 

 

n = length(x0);

 

vars = sym('x', [1 n]); % ��̬�������ű�������

 

 

 

% ����Ŀ�꺯��

 

funf_sym = str2sym(func);

 

 

 

% �����ݶȺ�Hessian����

 

gradf_sym = gradient(funf_sym, vars);

 

hessf_sym = hessian(funf_sym, vars);

 

 

 

% �����ű���ʽת��Ϊ�������

 

funf = matlabFunction(funf_sym, 'Vars', {vars.'});

 

gradf = matlabFunction(gradf_sym, 'Vars', {vars.'});

 

hessf = matlabFunction(hessf_sym, 'Vars', {vars.'});

 

 

 

x = x0;

 

g = gradf(x);

 

d = -g;

 

k = 0;

 

 

 

while norm(g) > tol && k < max_iter

 

% ʹ�� Hessian ���� * d

 

Hd = hessf(x) * d;

 

alpha = -(g' * d) / (d' * Hd);

 

% ���� x

 

x = x + alpha * d;

 

% �����µ��ݶ�

 

g_new = gradf(x);

 

% Fletcher-Reeves ��ʽ

 

beta = (g_new' * g_new) / (g' * g);

 

% ���� d

 

d = -g_new + beta * d;

 

% ���¾ɵ��ݶ�

 

g = g_new;

 

k = k + 1;

 

end

 

 

 

iter = k;

 

 

 

end

 

 

 

FR_run:

 

% ����Ŀ�꺯��

 

func = '(x1 + 10*x2)^2 + 5*(x3 - x4)^2 + (x2 - 2*x3)^4 + 10*(x1 - x4)^4';

 

 

 

% ��ʼ��

 

x0 = [2; 2; 2; 2];

 

 

 

% ����

 

tol = 1e-6;

 

 

 

% ����������

 

max_iter = 1000;

 

 

 

% �����Ż�����

 

[x, iter] = FR(func, x0, tol, max_iter);

 

 

 

% ������

 

disp('Optimal solution x:');

 

disp(x);

 

disp(['Number of iterations: ', num2str(iter)]);