差分与前缀和

差分和前缀和

前缀和

典例1：一维前缀和

题目描述：输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n 1≤n,m≤100000 −1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

 5 3
 2 1 3 6 4
 1 2
 1 3
 2 4

输出样例：

 3
 6
 10

code：

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 ​
 const int N = 1e6 + 10;
 //a用来存储原数组，s用来存储前缀和数组
 //通过这个s可以来求得
 //      1、前n项和--就是s(n);
 //      2、部分和如:[l,r]区间上的和--s(r)-s(l-1);
 //      这些都是类似数列前n项和的求法，比较简单
 int a[N],s[N];
 int n,q;
 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&q);
     for(int i=1;i<=n;i++){
         //读入原数组
         scanf("%d",&a[i]);
         //更新前缀和数组
         s[i] = s[i-1] + a[i];
     }
     while(q--){
         int i,j;
         scanf("%d%d",&i,&j);
         //输出区间[i,j]上的和
         printf("%d\n",s[j] - s[i-1]);
     }
     return 0;
 }

---

典例2：二维前缀和

题目描述：输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式

共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000 1≤q≤200000 1≤x1≤x2≤n 1≤y1≤y2≤m −1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

 3 4 3
 1 7 2 4
 3 6 2 8
 2 1 2 3
 1 1 2 2
 2 1 3 4
 1 3 3 4

输出样例：

 17
 27
 21

code:

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 ​
 const int N = 1010;
 int a[N][N],s[N][N];
 int n,m,q;
 int main(){
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
     for(int i=1;i<=n;i++)
         for(int j=1;j<=m;j++){
             scanf("%d",&a[i][j]);
             //简单的容斥原理
             s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];
         }
     while(q--){
         int sx,sy,ex,ey;
         scanf("%d%d%d%d",&sx,&sy,&ex,&ey);
         //容斥原理
         printf("%d\n",s[ex][ey]-s[sx-1][ey]-s[ex][sy-1]+s[sx-1][sy-1]);
     }
     return 0;
 }

差分

定义

我们假设现有a、b两个数组，如果a是b的前缀和数组，那么b就是a的差分数组，引入差分的用途：可以动态地在原数组地一段区间上做修改操作。如：使原数组的[l,r]区间上的每个数加上一个数n。就可以通过差分来做。下面有两个典例：

典例1：一维差分

题目描述：输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 l,r 之间的每个数加上 c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数序列。

接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤100000 1≤l≤r≤n −1000≤c≤1000 −1000≤整数序列中元素的值≤1000

输入样例：

 6 3
 1 2 2 1 2 1
 1 3 1
 3 5 1
 1 6 1

输出样例：

 3 4 5 3 4 2

code:

 //差分
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream> 
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 ​
 const int N = 1e5 + 10;
 int a[N],b[N];
 int n,m;
 ​
 void insert(int l,int r,int c){
     //我们想要在原数组a的[l,r]区间的每个数同时加上c，我们只需要使其差分数组b的l位置上的数加上c(因为a是b的前缀和，则原数组a中l及以后的所有位置都会加上c)
     b[l] += c;
     //但是我们只是希望修改[l,r]上的值，如若我们不加上下一行代码，就会使[r+1,~]也发生改变，所以要将差分数组b上的r+1位置的数减去c.
     b[r+1] -=c;
 } 
 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&m);
     
 ​
     for(int i=1;i<=n;i++) {
         //读入原数组         
         scanf("%d",&a[i]);
         //初始化差分数组 
         insert(i,i,a[i]);
     }
     
     while(m--){
         int l,r,c;
         scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
         insert(l,r,c);
     } 
     
     for(int i=1;i<=n;i++){
         b[i] += b[i-1];
         //迭代输出b的前缀和，也就是a数组的各个元素值 
         printf("%d ",b[i]);
     } 
     return 0;
 }

典例3：二维差分

题目描述:输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1)和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,q

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含 55 个整数x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。

输出格式

共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤1000 1≤q≤100000 1≤x1≤x2≤n 1≤y1≤y2≤m −1000≤c≤1000 −1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

 3 4 3
 1 2 2 1
 3 2 2 1
 1 1 1 1
 1 1 2 2 1
 1 3 2 3 2
 3 1 3 4 1

输出样例：

 2 3 4 1
 4 3 4 1
 2 2 2 2

code:

 //二维差分(差分矩阵) 
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 ​
 const int N = 1010;
 int a[N][N],b[N][N];//a表示原数组，b表示a的差分数组。换句话说，也就是a是b的前缀和数组。 
 int n,m,q;
 ​
 void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c){
     //改变差分数组中的某些个值，来达到修改原数组中的一块矩形区间
     //这里可以利用容器原理进行推到，结论为真.
     b[x1][y1] += c;
     b[x2+1][y1] -= c;
     b[x1][y2+1] -= c;
     b[x2+1][y2+1] += c;
 }
 int main(){
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
     for(int i=1;i<=n;i++)
         for(int j=1;j<=m;j++){
             //读入原数组 
             scanf("%d",&a[i][j]);
             //初始化差分数组
             insert(i,j,i,j,a[i][j]);
         }
         
     while(q--){
         int x1,y1,x2,y2,c;
         scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&c);
         insert(x1,y1,x2,y2,c);
     }
     
     memset(a,0,sizeof(a));
     for(int i=1;i<=n;i++){
         for(int j=1;j<=m;j++){
             //求前缀和
             a[i][j] = a[i-1][j] + a[i][j-1] + b[i][j] - a[i-1][j-1];
             cout<<a[i][j]<<" "; 
         }
         cout<<endl;
     }
     return 0;
 }