约瑟夫问题

全都是抄具体数学的

问题\(1\)

有\(n\)个人围成一圈，顺时针从\(1\)到\(n\)编号，并从\(1\)开始报数，如果一个人报的数字是\(2\)的倍数，就把他撒了，后面的人继续，问最终活下来的人的编号

\(Sol1\)

记\(J(n)\)为最终活下来人的编号，有\(J(1)=1\)

如果有\(2n\)个人，那么第一圈过去之后所有偶数编号的人都被撒了，那么可以看成还有\(n\)个人，只不过第\(i\)个人的编号是\(2i-1\)，所以有\(J(2n)=2J(n)-1\)

如果有\(2n+1\)个人，那么第一圈过去之后所有偶数编号的人都被撒了，下一圈一开始\(1\)号被撒了，那么可以看成还有\(n\)个人，第\(i\)个人的编号是\(2i+1\)，所以有\(J(2n)=2J(n)+1\)

如果我们记\(k\)为\(n\)的二进制最高位，有\(J(n)=2(n-2^k)+1\)打表证明即可，归纳证明即可

问题\(2\)

有\(n\)个人围成一圈，顺时针从\(1\)到\(n\)编号，并从\(1\)开始报数，如果一个人报的数字是\(3\)的倍数，就把他撒了，后面的人继续，问最终活下来的人的编号

\(Sol2\)

如果还是按上面的递归式的方法不用做了

考虑一种新的方法，\(1\)号报完之后，我们给他一个新的编号\(n+1\)，\(2\)号报完之后变成\(n+2\)，\(3\)号报完就被撒了，\(4\)号报完变成\(n+3\)……同理，每一次令\(3k+1\)和\(3k+2\)的人变成\(n+2k+1\)和\(n+2k+2\)

这样的话第\(k\)个死的人编号是\(3k\)，最终活下来的人编号就是\(3n\)了，我们只要知道他原来的编号就行了

对于编号为\(p\)的人，如果\(p>n\)，那么\(p=n+2k+v\)，其中\(v=1\)或\(2\)，所以有\(k=\lfloor{p-n-1\over 2}\rfloor\)，而它之前的号码是\(3k+v\)，即\(3k+(p-n-2k)=p+k-n\)，那么我们可以写出一个代码

inline int calc(R int n){
	R int p=3*n;
	while(p>n)p=((p-n-1)>>1)+p-n;
	return p;
}

关于复杂度的证明，它和下面这种方法等价

如果我们记\(d=3n+1-p\)，那么递归过程就变成了

\[\begin{aligned} d &=3n+1-\left(\lfloor{{3n+1-d-n-1}\over 2}\rfloor+3n+1-d-n\right)\\ &=n+d-\lfloor{2n-d\over 2}\rfloor\\ &=d-\lfloor{-d\over 2}\rfloor\\ &=d+\lceil{d\over 2}\rceil\\ &=\lceil{3d\over 2}\rceil\\ \end{aligned} \]

代码如下

inline int calc(R int n){
	R int d=1;
	while(d<=(n<<1))d=ceil(1.5*d);
	return 3*n+1-d;
}

由于这两种方法本质一样，所以复杂度都是\(O(\log n)\)

问题\(3\)

有\(n\)个人围成一圈，顺时针从\(1\)到\(n\)编号，并从\(1\)开始报数，如果一个人报的数字是\(q\)的倍数，就把他撒了，后面的人继续，问最终活下来的人的编号

\(Sol3\)

在问题\(2\)的基础上扩展一下即可

inline int calc(R int n,R int q){
	R int d=1;
	while(d<=(q-1)*n)d=ceil(1.0*q/(q-1)*d);
	return q*n+1-d;
}

参考资料

《具体数学》