Berlekamp-Massey算法
\(BM\)算法可以在\(O(n^2)\)的时间里用来求出一个长度为\(n\)的数列的最短递推式
用处是在题目中打出小范围的表之后求出递推式并配合CH定理来求出最终的答案
以下无特殊说明时均默认下标从\(1\)开始，用\(|B|\)表示数列\(B\)的长度
算法流程
对于某个长为\(n\)的数列\(\{a_i\}\)，我们称某个长为\(m\)的数列\(\{b_i\}\)为其递推式，当且仅当对于任意\(m+1\leq i\leq n\)，有\(a_i=\sum\limits_{j=1}^m b_ja_{i-j}\)恒成立。称\(\{b_i\}\)为其最短线性递推式当且仅当\(m\)是所有递推式中最小的。注意，\(m\geq n\)的情况也是允许的，此时由于不存在\(m+1\leq i\leq n\)，所以此时必定是\(a\)的线性递推式
我们考虑增量法，设当前已经求出了\(a_{1,...,i-1}\)的最短线性递推式，考虑加入\(a_i\)之后的最短线性递推式
记初始时的递推式为\(B_0=\varnothing\)，假设递推式被修改了\(k\)次，且第\(i\)次修改后的递推式为\(B_i\)，那么当前的线性递推式就是\(B_k\)
设当前递推式为\(B_k\)，记\(d_i=a_i-\sum\limits_{j=1}^m b_ja_{i-j}\)，如果\(d_i=0\)，那么当前递推式已经合法，可以退出
否则，我们认为\(B_k\)在\(a_i\)处出错，记\(fail_i\)为\(B_i\)最早出错的位置，则有\(fail_k=i\)。我们尝试对\(B_k\)进行修改，使之变为\(B_{k+1}\)，并其是\(a_{1,...,i}\)的最短递推式
如果\(k=0\)，那么我们可以令\(B_1=\{0,0,...,0\}\)，即用\(i\)个\(0\)填充，那么\(B_1\)显然是\(a_{1,..,i}\)的线性递推式。并且由于\(a_i\)是序列中第一个非零元素，所以容易证明\(B_1\)是最短递推式
否则\(k>0\)，我们记\(id\)为\(0\)到\(k-1\)中的任意一个元素，并记\(coef={d_i\over d_{fail_{id}}}\)
如果我们能构造出一个长度为\(q\)的序列\(B'\)，使得\(\sum_{j=1}^{q}b_{j}a_{k-j}=0\)对任意\(q+1\leq i\leq k-1\)成立，且\(\sum_{j=1}^{q}b_{j}a_{i-j}=d_i\)，那么我们令\(B_{k+1}=B_k+B'\)即可（这里加法定义为按位相加）
对于\(B'\)，可以是\(\{0,0,...,0,coef,-coef\times B_{id}\}\)，即先填上\(i-fail_{id}-1\)个\(0\)，然后把\(\{1,-B_{id}\}\)乘上\(coef\)倍接在后面。手玩一下发现它满足我们的条件，那么令\(B_{k+1}=B_k+B'\)即可
由于我们需要最短线性递推式，而\(|B_{k+1}|=\max(|B_k|,i-fail_{id}+|B_{id}|)\)，那么我们取\(|B_{id}|-fail_{id}\)最小的即可，这样我们就可以只记录当前的和最小的这两个线性递推式了
由于最坏情况下会修改\(O(n)\)次，总复杂度为\(O(n^2)\)
洛谷5487，注释掉的是\(NTT\)优化\(CH\)，没注释掉的是暴力实现\(CH\)
//quming
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
const int P=998244353;
inline void upd(R int &x,R int y){(x+=y)>=P?x-=P:0;}
inline int inc(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
R int res=1;
for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))(y&1)?res=mul(res,x):0;
return res;
}
const int N=(1<<16)+5;
//namespace CH{
// int rt[2][N],r[18][N],inv[18],lg[N],md[N],A[N],B[N],a[N],b[N],lim,d,n,K;
// void init(){
// fp(d,1,16){
// fp(i,1,(1<<d)-1)r[d][i]=(r[d][i>>1]>>1)|((i&1)<<(d-1));
// inv[d]=ksm(1<<d,P-2),lg[1<<d]=d;
// }
// for(R int t=(P-1)>>1,i=1,x,y;i<65536;t>>=1,i<<=1){
// x=ksm(3,t),y=ksm(332748118,t),rt[0][i]=rt[1][i]=1;
// fp(k,1,i-1){
// rt[0][i+k]=mul(rt[0][i+k-1],x);
// rt[1][i+k]=mul(rt[1][i+k-1],y);
// }
// }
// }
// void NTT(int *A,int ty){
// int t;
// fp(i,0,lim-1)if(i<r[d][i])swap(A[i],A[r[d][i]]);
// for(R int mid=1;mid<lim;mid<<=1)
// for(R int j=0;j<lim;j+=(mid<<1))
// fp(k,0,mid-1){
// A[j+k+mid]=inc(A[j+k],P-(t=mul(A[j+k+mid],rt[ty][mid+k])));
// upd(A[j+k],t);
// }
// if(!ty){
// t=inv[d];
// fp(i,0,lim-1)A[i]=mul(A[i],t);
// }
// }
// void Inv(int *a,int *b,int len){
// if(len==1)return b[0]=ksm(a[0],P-2),void();
// Inv(a,b,len>>1);
// static int A[N],B[N];lim=(len<<1),d=lg[lim];
// fp(i,0,len-1)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
// fp(i,len,lim-1)A[i]=B[i]=0;
// NTT(A,1),NTT(B,1);
// fp(i,0,lim-1)A[i]=mul(A[i],mul(B[i],B[i]));
// NTT(A,0);
// fp(i,0,len-1)upd(b[i],inc(b[i],P-A[i]));
// fp(i,len,lim-1)b[i]=0;
// }
// void Mod(int *a,int *b,int *c,int n,int m){
// while(!a[n-1])--n;
// if(n<m){
// fp(i,0,n-1)c[i]=a[i];fp(i,n,m-2)c[i]=0;
// return;
// }
// static int A[N],B[N],IB[N],C[N];
// R int len=1;while(len<=n-m)len<<=1;
// fp(i,0,n-1)A[i]=a[n-i-1];fp(i,0,m-1)B[i]=b[m-i-1];
// fp(i,m,len-1)B[i]=0;Inv(B,IB,len);
// lim=(len<<1),d=lg[lim];
// fp(i,n-m+1,lim-1)A[i]=IB[i]=0;
// NTT(A,1),NTT(IB,1);
// fp(i,0,lim-1)A[i]=mul(A[i],IB[i]);
// NTT(A,0);
// lim=1;while(lim<n)lim<<=1;d=lg[lim];
// fp(i,0,n-m)C[i]=A[n-m-i];fp(i,n-m+1,lim-1)C[i]=0;
// fp(i,0,m-1)B[i]=b[i];fp(i,m,lim-1)B[i]=0;
// NTT(B,1),NTT(C,1);
// fp(i,0,lim-1)B[i]=mul(B[i],C[i]);
// NTT(B,0);
// fp(i,0,m-2)c[i]=inc(a[i],P-B[i]);
// fp(i,m-1,lim-1)c[i]=0;
// }
// void Mul(int *a,int *b,int *c,int n,int m){
// static int A[N],B[N];
// lim=1;while(lim<(n+m))lim<<=1;d=lg[lim];
// fp(i,0,n-1)A[i]=a[i];fp(i,0,m-1)B[i]=b[i];
// fp(i,n,lim-1)A[i]=0;fp(i,m,lim-1)B[i]=0;
// NTT(A,1),NTT(B,1);
// fp(i,0,lim-1)A[i]=mul(A[i],B[i]);
// NTT(A,0);
// fp(i,n+m-1,lim-1)A[i]=0;
// Mod(A,md,c,n+m-1,K+1);
// }
// void ksm(int y){
// R int sz=2,psz=1;
// A[1]=1,B[0]=1;
// for(;y;y>>=1,Mul(A,A,A,sz,sz),sz=sz+sz-1,cmin(sz,K))
// if(y&1)Mul(A,B,B,sz,psz),psz+=sz-1,cmin(psz,K);
// }
// void MAIN(){
// init();
// md[K]=1;fp(i,0,K-1)md[i]=inc(0,P-a[K-i]);
// ksm(n);
// R int res=0;
// fp(i,0,K-1)upd(res,mul(B[i],b[i]));
// printf("%d\n",res);
// }
// inline void fr(int nn,int kk,int *A,int *B){n=nn,K=kk;fp(i,0,K-1)a[i+1]=A[i+1],b[i]=B[i];}
//}
namespace CH{
typedef vector<int> poly;
int a[N],b[N],K,n,res;poly c,d,md;
poly operator %(R poly a,R poly b){
R int n=a.size(),m=b.size(),t,iv=inc(0,P-ksm(b[m-1],P-2));
fd(i,n-1,m-1)if(a[i]){
t=mul(a[i],iv);
fp(j,0,m-1)upd(a[i-j],mul(t,b[m-1-j]));
}
while(!a.empty()&&!a.back())a.pop_back();
return a;
}
poly operator *(R poly a,R poly b){
R int n=a.size(),m=b.size();poly c(n+m-1);
fp(i,0,n-1)fp(j,0,m-1)upd(c[i+j],mul(a[i],b[j]));
return c%md;
}
void MAIN(){
md.resize(K+1);md[K]=1;fp(i,0,K-1)md[i]=inc(0,P-a[K-i]);
c.resize(1),d.resize(2),c[0]=1,d[1]=1;
for(;n;n>>=1,d=d*d)if(n&1)c=c*d;
res=0;
fp(i,0,K-1)upd(res,mul(c[i],b[i]));
printf("%d\n",res);
}
inline void fr(int nn,int kk,int *A,int *B){n=nn,K=kk;fp(i,0,K-1)a[i+1]=A[i+1],b[i]=B[i];}
}
namespace BM{
vector<int>now,las,ret;int a[N],del[N],A[N],B[N],fail,mn,sz,n,m;
void MAIN(){
scanf("%d%d",&n,&m);
fp(i,1,n)scanf("%d",&a[i]),upd(a[i],P);
fail=0;
fp(i,1,n){
if(!fail){
if(a[i])now.resize(i,0),del[i]=a[i],fail=i,mn=-i,sz=i;
continue;
}
R int sum=a[i];
fp(j,0,sz-1)upd(sum,P-mul(now[j],a[i-j-1]));
del[i]=sum;
if(!sum)continue;
ret=now;
R int tsz=i+mn,coef=mul(del[i],ksm(del[fail],P-2));
if(sz<tsz)now.resize(tsz);
upd(now[i-fail-1],coef);
fp(j,0,las.size()-1)upd(now[i-fail+j],P-mul(coef,las[j]));
if(mn>=sz-i)mn=sz-i,las=ret,fail=i;
cmax(sz,tsz);
}
fp(i,0,sz-1)printf("%d%c",now[i]," \n"[i==sz-1]);
fp(i,0,sz-1)A[i+1]=now[i],B[i]=a[i+1];
CH::fr(m,sz,A,B);
}
}
int main(){
// freopen("testdata.in","r",stdin);
BM::MAIN(),CH::MAIN();
return 0;
}
参考文献
https://blog.csdn.net/qq_39972971/article/details/80725873
https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Berlekamp-Massey.html
