模拟费用流
参考资料：
https://www.mina.moe/archives/11762
https://blog.csdn.net/litble/article/details/88410435
sb typora怎么出bug了，写了一半全没了
鉴于某些原因来学一下模拟费用流
\(Case1\)
数轴上有若干兔子和洞，每只兔子必须进洞，一个洞只能进一只兔子，兔子只能往左边走，最小化所有兔子移动距离之和
这个问题我们可以这样考虑，平面上有一条折线，经过一个洞可以不变或往上，经过一个兔子必须往下，折线不能低于\(x\)轴，且最终高度必须为\(0\)，最小化折线下方面积
那么我们发现只要让折线尽量不上升即可，而遇到一只兔子时意味着折线必须在直线的某个位置上升，贪心选取最右的即可，一遍sort+栈即可
\(Case2\)
数轴上有若干兔子和洞，每只兔子必须进洞，一个洞只能进一只兔子，洞有附加权值，兔子只能往左边走，最小化所有兔子移动距离与附加权值之和
我们尝试推广上一个模型，可以考虑给折线的每次上升和下降赋值，记坐标为\(x_i\)，附加权值为\(w_i\)，上升权值为\(w_i-x_i\)，下降权值为\(x_i\)，用一个可以动态维护最小值的数据结构就可以了
\(Case3\)
数轴上有若干兔子和洞，每只兔子必须进洞，一个洞只能进一只兔子，洞有附加权值，兔子可以往两边走，最小化所有兔子移动距离与附加权值之和
这里就有点麻烦了，因为会有后效性，如果我们把它看成一个最小权匹配，对应到费用流中，就是我们可能需要在某些时候退流
假设我们通过某种方法得到了一只兔子的权值为\(w_i\)，通过某种方法得到了一个洞的权值为\(v_i\)，兔子的坐标是\(x_i\)，洞的坐标是\(y_i\)，附加权值为\(s_i\)，并从左往右依次考虑
如果一只兔子\(a\)匹配上了一个洞\(b\)：
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总权值增加了\(x_a+v_b\)
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如果之后某一只兔子\(c\)抢走了这个洞，由于我们认为一开始每个兔子都匹配这一个权值\(inf\)的洞，那么\(b\)被\(c\)抢走之后权值要加上\(x_c-x_a+inf\)，可以认为是多了一个权值\(-x_a+inf\)的洞，由于权值是\(inf\)所以可以不加
-
如果之后某一个洞\(c\)抢走了兔子\(a\)，那么权值的变化为\(y_c+s_c-v_b-2x_a\)，可以认为是多了一个权值\(-v_b-2x_a\)的兔子
如果一个洞\(a\)匹配上了一只兔子\(b\)
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总权值增加了\(y_b+s_b-w_a\)
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如果之后某个兔子\(c\)抢走了洞\(a\)，由于我们认为\(b\)已经和他前面的某一个匹配了（这个匹配有可能是\(inf\)，由于选择\(inf\)肯定不优所以我们贪心中一定会避免这种情况），所以对\(b\)来说这个洞被抢走他可以回去找之前的洞（类似于费用流中一条增广路的变化），而总权值要加上\(x_c-w_a-2y_b\)，可以认为增加了一个权值\(-w_a-2y_b\)的洞
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如果之后某个洞\(c\)抢走了兔子\(b\)，总权值要加上\(y_c+w_c-y_b-s_b\)，那么可以认为新增了一只权值为\(-y_b-s_b\)的兔子
这样，兔子不再是兔子，洞也不再是洞，但是我们只需要两个堆就可以把它们处理的服服帖帖的
\(Case5\)
在#4的基础上，兔子和洞可以有分身（即一个点上可以有多个洞或兔子，数量$10^9$）,求最小代价
在#4的基础上，记录权值的同时记录一下数量，对于一大批相同的洞，批量完成匹配和退流操作，还是用两个堆去维护
可以证明新建的节点数不会超过销毁节点数的\(c\)倍，其中\(c\)是某个常数，用势能分析可知总复杂度是\(O(cn\log cn)\)（我反正是不会证）
\(Case6\)
把#5的问题转化到树上
在树上我们只能自底向上合并子树中的兔子和洞，用可并堆维护即可。注意我们一开始需要为每只兔子分配一个权值\(inf\)的洞，这个洞是不能被别的兔子抢走的，否则这只兔子就真的无家可归了
