P1005 [NOIP2007 提高组] 矩阵取数游戏 题解

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[NOIP2007 提高组] 矩阵取数游戏

题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的 $n \times m$ 的矩阵，矩阵中的每个元素 $a_{i,j}$ 均为非负整数。游戏规则如下：

1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共 $n$ 个。经过 $m$ 次后取完矩阵内所有元素；
2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值 $\times 2^i$，其中 $i$ 表示第 $i$ 次取数（从 $1$ 开始编号）；
4. 游戏结束总得分为 $m$ 次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

输入格式

输入文件包括 $n+1$ 行：

第一行为两个用空格隔开的整数 $n$ 和 $m$。

第 $2\sim n+1$ 行为 $n \times m$ 矩阵，其中每行有 $m$ 个用单个空格隔开的非负整数。

输出格式

输出文件仅包含 $1$ 行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

样例 #1

样例输入 #1

2 3
1 2 3
3 4 2

样例输出 #1

82

提示

【数据范围】

对于 $60\%$ 的数据，满足 $1\le n,m\le 30$，答案不超过 $10^{16}$。
对于 $100\%$ 的数据，满足 $1\le n,m\le 80$，$0\le a_{i,j}\le1000$。

【题目来源】

NOIP 2007 提高第三题。

废话不多说，直接上AC代码

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;
long long n,m,num,df[84],dp[84][84]; 
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		for (int j=1;j<=m;j++)
		{
			cin>>df[j];
			dp[j][j]=df[j]*(1<<m);
		}
		for (int l=2;l<=m;l++)
			for (int k=1;k+l-1<=m;k++)
			{
				int r=k+l-1;
				dp[k][r]=max(dp[k+1][r]+df[k]*(1<<(m-l+1)),dp[k][r-1]+df[r]*(1<<(m-l+1)));
			}
		num+=dp[1][m];
	}
	cout<<num;
	return 0;
}

然后就开心的得了60分
原因：

没加高精！

其实这是一道区间dp题目，需要开高精，很多大佬们几十行几百行的去写代码，本人写了40行解决了该题
转移方程：

$$dp[i][l][r]=max(dp[i][l+1][r]+df[i][l]*b[pow],dp[i][l][r-1]+df[i][r]*b[pow]);$$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Max=80+5,md=1e9+7;
int n,m;
int df[Max][Max];
__int128 dp[Max][Max][Max];
__int128 b[Max];
void node(__int128 sum){
	if(sum==0) return ;
	node(sum/10);
	cout<<(int)(sum%10);
}
int main(){
    b[0]=1;
    for(int i=1;i<=80;i++){
        b[i]=b[i-1]*2;
    }
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            cin>>df[i][j];
        }
    }
    __int128 sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int r=1;r<=m;r++){
            for(int l=r;l>=1;l--){
                int pow=m-(r-l);
                dp[i][l][r]=max(dp[i][l+1][r]+df[i][l]*b[pow],dp[i][l][r-1]+df[i][r]*b[pow]);
            }
        }
        sum+=dp[i][1][m];
    }
    if(sum==0){
    	cout<<0;
	}else{
		node(sum); 
	}
	return 0;
}