多层感知机

多层感知机

多层感知机的基本知识

深度学习主要关注多层模型。在这里，以多层感知机（multilayer perceptron，MLP）为例，介绍多层神经网络的概念。

隐藏层

下图展示了一个多层感知机的神经网络图，它含有一个隐藏层，该层中有5个隐藏单元。

表达公式

具体来说，给定一个小批量样本\(\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}\)，其批量大小为\(n\)，输入个数为\(d\)。假设多层感知机只有一个隐藏层，其中隐藏单元个数为\(h\)。记隐藏层的输出（也称为隐藏层变量或隐藏变量）为\(\boldsymbol{H}\)，有\(\boldsymbol{H} \in \mathbb{R}^{n \times h}\)。因为隐藏层和输出层均是全连接层，可以设隐藏层的权重参数和偏差参数分别为\(\boldsymbol{W}_h \in \mathbb{R}^{d \times h}\)和 \(\boldsymbol{b}_h \in \mathbb{R}^{1 \times h}\)，输出层的权重和偏差参数分别为\(\boldsymbol{W}_o \in \mathbb{R}^{h \times q}\)和\(\boldsymbol{b}_o \in \mathbb{R}^{1 \times q}\)。

我们先来看一种含单隐藏层的多层感知机的设计。其输出\(\boldsymbol{O} \in \mathbb{R}^{n \times q}\)的计算为

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h,\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned} \]

也就是将隐藏层的输出直接作为输出层的输入。如果将以上两个式子联立起来，可以得到

\[ \boldsymbol{O} = (\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h)\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o = \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o. \]

从联立后的式子可以看出，虽然神经网络引入了隐藏层，却依然等价于一个单层神经网络：其中输出层权重参数为\(\boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o\)，偏差参数为\(\boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o\)。不难发现，即便再添加更多的隐藏层，以上设计依然只能与仅含输出层的单层神经网络等价。

激活函数

上述问题的根源在于全连接层只是对数据做仿射变换（affine transformation），而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。解决问题的一个方法是引入非线性变换，例如对隐藏变量使用按元素运算的非线性函数进行变换，然后再作为下一个全连接层的输入。这个非线性函数被称为激活函数（activation function）。

几个常用的激活函数：

ReLU函数

ReLU（rectified linear unit）函数提供了一个很简单的非线性变换。给定元素\(x\)，该函数定义为

\[\text{ReLU}(x) = \max(x, 0). \]

可以看出，ReLU函数只保留正数元素，并将负数元素清零。

relu的梯度

Sigmoid函数

sigmoid函数可以将元素的值变换到0和1之间：

\[\text{sigmoid}(x) = \frac{1}{1 + \exp(-x)}. \]

依据链式法则，sigmoid函数的导数

\[\text{sigmoid}'(x) = \text{sigmoid}(x)\left(1-\text{sigmoid}(x)\right). \]

下面绘制了sigmoid函数的导数。当输入为0时，sigmoid函数的导数达到最大值0.25；当输入越偏离0时，sigmoid函数的导数越接近0，面临梯度消失的问题。

tanh函数

tanh（双曲正切）函数可以将元素的值变换到-1和1之间：

\[\text{tanh}(x) = \frac{1 - \exp(-2x)}{1 + \exp(-2x)}. \]

我们接着绘制tanh函数。当输入接近0时，tanh函数接近线性变换。虽然该函数的形状和sigmoid函数的形状很像，但tanh函数在坐标系的原点上对称

依据链式法则，tanh函数的导数

\[\text{tanh}'(x) = 1 - \text{tanh}^2(x). \]

下面绘制了tanh函数的导数。当输入为0时，tanh函数的导数达到最大值1；当输入越偏离0时，tanh函数的导数越接近0，也面临梯度消失的问题。

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关于激活函数的选择

ReLu函数是一个通用的激活函数，目前在大多数情况下使用。但是，ReLU函数只能在隐藏层中使用。
用于分类器时，sigmoid函数及其组合通常效果更好。由于梯度消失问题，有时要避免使用sigmoid和tanh函数。
在神经网络层数较多的时候，最好使用ReLu函数，ReLu函数比较简单计算量少，而sigmoid和tanh函数计算量大很多。
在选择激活函数的时候可以先选用ReLu函数如果效果不理想可以尝试其他激活函数。

多层感知机

多层感知机就是含有至少一个隐藏层的由全连接层组成的神经网络，且每个隐藏层的输出通过激活函数进行变换。多层感知机的层数和各隐藏层中隐藏单元个数都是超参数。以单隐藏层为例，多层感知机按以下方式计算输出：

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \phi(\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h),\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned} \]

其中\(\phi\)表示激活函数。