[2022CCCC天梯赛] L3-1 千手观音(30分)
[2022CCCC天梯赛] L3-1 千手观音(30分)
题目描述
人类喜欢用 10 进制,大概是因为人类有一双手 10 根手指用于计数。于是在千手观音的世界里,数字都是 10 000 进制的,因为每位观音有 1 000 双手 ……
千手观音们的每一根手指都对应一个符号(但是观音世界里的符号太难画了,我们暂且用小写英文字母串来代表),就好像人类用自己的 10 根手指对应 0 到 9 这 10 个数字。同样的,就像人类把这 10 个数字排列起来表示更大的数字一样,ta们也把这些名字排列起来表示更大的数字,并且也遵循左边高位右边低位的规则,相邻名字间用一个点 .
分隔,例如 pat.pta.cn
表示千手观音世界里的一个 3 位数。
人类不知道这些符号代表的数字的大小。不过幸运的是,人类发现了千手观音们留下的一串数字,并且有理由相信,这串数字是从小到大有序的!于是你的任务来了:请你根据这串有序的数字,推导出千手观音每只手代表的符号的相对顺序。
注意:有可能无法根据这串数字得到全部的顺序,你只要尽量推出能得到的结果就好了。当若干根手指之间的相对顺序无法确定时,就暂且按它们的英文字典序升序排列。例如给定下面几个数字:
pat
cn
lao.cn
lao.oms
pta.lao
pta.pat
cn.pat
我们首先可以根据前两个数字推断 pat
< cn
;根据左边高位的顺序可以推断 lao
< pta
< cn
;再根据高位相等时低位的顺序,可以推断出 cn
< oms
,lao
< pat
。综上我们得到两种可能的顺序:lao
< pat
< pta
< cn
< oms
;或者 lao
< pta
< pat
< cn
< oms
,即 pat
和 pta
之间的相对顺序无法确定,这时我们按字典序排列,得到 lao
< pat
< pta
< cn
< oms
。
输入格式:
输入第一行给出一个正整数 N (≤10^5),为千手观音留下的数字的个数。随后 N 行,每行给出一个千手观音留下的数字,不超过 10 位数,每一位的符号用不超过 3 个小写英文字母表示,相邻两符号之间用 .
分隔。
我们假设给出的数字顺序在千手观音的世界里是严格递增的。题目保证数字是 10^4 进制的,即符号的种类肯定不超过 10^4 种。
输出格式:
在一行中按大小递增序输出符号。当若干根手指之间的相对顺序无法确定时,按它们的英文字典序升序排列。符号间仍然用 .
分隔。
输入样例:
7
pat
cn
lao.cn
lao.oms
pta.lao
pta.pat
cn.pat
输出样例:
lao.pat.pta.cn.oms
思路
优先队列 + 拓扑排序
这是一类经典问题:已知若干组大小关系\(a_i<a_j\)、\(a_k>a_l\)、\(a_p=a_q\),要求构造数列\(a\),满足所有给定关系。
这类问题是差分约束系统的简化版:所有边的边权为1或0。若存在相等关系,可以用并查集或Tarjan算法,将所有相等关系缩点。最终均可转化为DAG,拓扑排序即可确定一组最小解(有环则无解)。
本题也是类似的,给出的大小关系为:若\(A<B\),则\(A\)和\(B\)从高到低的第一位不相等数位\(i\),满足\(A[i]<B[i]\),连有向边<A[i], B[i]>,最后拓扑排序即可。由于题目是按递增顺序给出的,因此对每个给出的数只需与前一个数连边。
本题中,每一位的数据类型是字符串,可以用unordered_map或者map将其离散化为整数再排序。
本题难点在于,当相对顺序无法确定时,按字典序排序。我最初的思路是拓扑排序后分别按层数、字典序为第一、二关键字排序,以及不连通情况下再次排序等,这些做法都是不对的,反例如下:
相对顺序无法确定,根据字典序,最后答案可以是(A.F.B.D.C.G.E)。
30pts正解:将拓扑排序的队列改为优先队列即可。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5, M = 2e6 + 5;
int etot, head[N], ver[M], nxt[M];
void add(int u, int v) {
ver[++etot] = v;
nxt[etot] = head[u];
head[u] = etot;
}
unordered_map<string, int> ID;
unordered_map<int, string> findbyID;
int n, strtot;
int ind[N];
typedef pair<string, int> node;
vector<string> ans;
int main() {
scanf("%d", &n);
vector<string> pre, now;
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
string str;
cin >> str;
for(int p = 0; p < str.size(); ++p) {
string nows;
while(p < str.size() && str[p] != '.') nows += str[p++];
if(ID.find(nows) == ID.end()) {
ID[nows] = ++strtot;
findbyID[strtot] = nows;
}
now.emplace_back(nows);
}
if(pre.size() == now.size()) {
int p = 0;
while(pre[p] == now[p]) ++p;
add(ID[pre[p]], ID[now[p]]);
++ind[ID[now[p]]];
}
pre.swap(now);
now.clear();
}
priority_queue<node, vector<node>, greater<node>> q;
for(auto& [str, id] : ID) {
if(!ind[id]) q.emplace(str, id);
}
while(!q.empty()) {
ans.emplace_back(q.top().first);
int u = q.top().second;
q.pop();
for(int i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
int v = ver[i];
--ind[v];
if(!ind[v]) q.emplace(findbyID[v], v);
}
}
cout << ans[0];
for(int i = 1; i < ans.size(); ++i) cout << "." << ans[i];
return 0;
}