洛谷P1248 加工生产调度

流水作业调度问题

有$N$个作业要在两台机器$M_1$和$M_2$组成的流水线上完成加工。每个作业$i$都必须先花时间$a_i$在$M_1$上加工，然后花时间$b_i$在$M_2$上加工。
确定$N$个作业的加工顺序，使得从作业1在机器$M_1$上加工开始到作业$N$在机器$M_2$上加工完为止所用的总时间最短。

【算法】

直观上，最优调度一定让$M_1$没有空闲，$M_2$的空闲时间尽量短。

Johnson算法:设$N_1$为$a<b$的作业集合，$N_2$为$≥b$的作业集合，将$N$的作业按$a$非减序排序，$N_2$中的作业按照$b$非增序排序，则$N_1$作业接$N_2$作业构成最优顺序。

算法的程序易于实现，时间复杂度为$O(nlogn)$，正确性需要证明。

---

P1248 加工生产调度

【问题描述】

某工厂收到了$N$个产品的订单，这$N$个产品分别在$a$、$b$两个车间加工，并且必须先在$a$加工后才可以送到$b$车间加工。
某个产品$i$在$a$、$b$两车间加工的时间分别为$a_i$、$b_i$。怎样安排这$N$个产品的加工顺序，才能总的加工时间最短？
这里所说的加工时间是指:从开始加工第一个产品到所有的产品都已在两车间加工完毕的时间。

【输入格式】

第一行仅一个数据$N$（0＜$N$＜1000），表示产品的数量。
接下来$N$个数据是表示这$N$个产品在$a$车间加工，各自所要的时间（都是整数）。最后的$N$个数据是表示这$N$个产品在$b$车间加工，各自所要的时间（都是整数）

【输出格式】

第一行一个数据，表示最短的加工时间。
第二行是一种用时最短的产品加工顺序。

【样例输入】

5
3 5 8 7 10
6 2 1 4 9

【样例输出】

34
1 5 4 2 3

---

【思路】

求一个加工顺序使得加工总用时最短，就是让机器的空闲时间最短。一旦$a$机器开始加工，则$a$机器将会不停地进行作业，关键是$b$机器在加工过程中有可能要等待$a$机器。很明显第一个部件在$a$机器上加工时，$b$机器必须等待，最后一个部件在$b$机器上加工时，$a$机器也在等待$b$机器的完工。
可以大胆猜想，要使机器总的空闲时间最短就要把在$a$机器上加工时间最短的部件最先加工，这样使得$b$机器能在最短的空闲时间内开始加工；把在$b$机器上加工时间最短的部件放在最后加工，这样使得$a$机器用最短时间等待$b$机器完工。

于是我们可以设计出这样的贪心策略:设$M_i＝min｛a_i，b_i｝，$将$M$按照从小到大的顺序排序，然后从第1个开始处理，若$M_i＝a_i$，则将它排在从头开始的作业后面，若$M_i＝b_i$，则将它排在从尾开始的作业前面。
例如:
$N$＝5，
$（a_1，a_2，a_3，a_4，a_5）＝（3，5，8，7，10）$，
$（b_1，b_2，b_3，b_4，b_5）＝（6，2，1，4，9）$，
则$（M_1，M_2，M_3，M_4，M_5）＝（3，2，1，4，9）$，
排序之后为$（M_3，M_2，M_1，M_4，M_5）$。
处理$M_3$： ∵ $M_3＝b_3$，∴$M_3$排在后面；加入$M_3$之后的加工顺序为$（，，，，3）$；
处理$M_2$： ∵ $M_2＝b_2$，∴$M_2$排在后面；加入$M_2$之后的加工顺序为$（，，，2，3）$；
处理$M_1$： ∵ $M_1＝a_1$，∴$M_1$排在前面；加入$M_1$之后的加工顺序为$（1，，，2，3）$；
处理$M_4$： ∵ $M_4＝b_4$，∴$M_4$排在后面；加入$M_4$之后的加工顺序为$（1，，4，2，3）$；
处理$M_5$： ∵ $M_5＝b_5$，∴$M_5$排在后面；加入$M_5$之后的加工顺序为$（1，5，4，2，3）$；
则最优加工顺序就是$（1，5，4，2，3）$，最短时间为34。
显然这个结果是最优解。
问题是这种贪心策略是否正确呢？还需证明。

【证明】

去年刚学OI时写的（萌新刚学OI），字写得渣。

---

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2005;
struct data {
	int id,a,b;
} J[N], ans[N];
int n;
inline bool cmp(const data &A, const data &B) {//Jhonson不等式排序 
	return min(A.a, A.b) < min(B.a, B.b);
}
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%d", &J[i].a);
		J[i].id = i;//原数组下标 
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &J[i].b);
	sort(J + 1, J + 1 + n, cmp);
	for(int i = 1, p = 1, q = n; i <= n; ++i) {//p--队头 q--队尾 
		if(J[i].a <= J[i].b) ans[p++] = J[i];
		else ans[q--] = J[i];
	}
	int time1 = 0, time2 = 0;//time1--A机器上加工用时 time2--B机器上加工用时 
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		time1 += ans[i].a;//第i件产品在A机器上所用时间 
		time2 = max(time1, time2);//在A机器上加工完才能到B机器 未加工完需要等待 
		time2 += ans[i].b;//第i件产品在B机器上所用时间 
	}
	printf("%d\n", time2);//最后一件在B机器加工完的时刻为结束时刻 
	for(int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d ", ans[i].id);//输出方案 
	return 0;
}