小数化分数的O(log2n)解法
具体约束:
给定一个小数x，x满足0<=x<1，且保证给定的x保留了18位小数
输出一个分数，使得分母不超过1e9，分子分母互质，且在满足这些条件的情况下最接近x
了解一下法雷数列和stern-brocot tree (某种意义上他们是在描述一个东西)
https://en.wikipedia.org/wiki/Stern%E2%80%93Brocot_tree
然后考虑在这个树上二分答案的上下界(个人觉得也可以叫伪二分)，
一层一层的下降，时间复杂度O(q), q为限制分母大小，本题中为1e9，不行
考虑加速，我们在一次二分过程结束后，上下界由 [l, r] 变为 [l, mid] 或 [mid, r]
但是实际上如果左边界一开始就非常贴近答案，那么我们连续下降很多次的过程中都是将 r 变为 (l + r) / 2
这样是很傻的，所以我们每次考虑下降多次，并且仍然满足条件即可
至于每次下降多少层，就二分一下就可以了
复杂度感觉不太直观，个人感觉是log^2(不负责猜测)，不然1w组数据，log的复杂度python不应该2s跑不出
python代码
1 inf, inff = 10 ** 9, 10 ** 18 2 for i in range(int(input())): 3 n = int(input()[2:]) 4 if n == 0: print('0 1') 5 else: 6 lp, lq, rp, rq = 0, 1, 1, 1 7 while max(lq, rq) <= inf: 8 mp, mq = lp + rp, lq + rq 9 if mp * inff <= mq * n: 10 l, r, mid, cnt = 1, (inf - lq) // rq + 1, -1, -1 11 while l <= r: 12 mid = l + r >> 1 13 if (lp + rp * mid) * inff <= (lq + rq * mid) * n: 14 cnt, l = mid, mid + 1 15 else: 16 r = mid - 1 17 lp, lq = lp + rp * cnt, lq + rq * cnt 18 else: 19 l, r, mid, cnt = 1, (inf - rq) // lq + 1, -1, -1 20 while l <= r: 21 mid = l + r >> 1 22 if (rp + lp * mid) * inff > (rq + lq * mid) * n: 23 cnt, l = mid, mid + 1 24 else: 25 r = mid - 1 26 rp, rq = rp + lp * cnt, rq + lq * cnt 27 if lq <= inf: print(lp, lq) 28 else: print(rp, rq)
拓展应用:
问题:给定小数，求出分数p/q，满足p/q>x, q<=1e9,且p/q-x最小
解法:其实是同一个问题，同样是求上下界
问题: 给出abcd四个整数，保证a/b<c/d，求出pq两个整数，使得a/b<p/q<c/d且q最小
解法: 如果abs(ad - bc) == 1，那么a/b和c/d两个分数再某阶法雷序列里是相邻的，就有p=a+c, q=b+d
否则我们很容易有一个O(max(b,d))的做法，从上到下，求出两个分数每层的上下界
需要注意对a/b求的上下界是[l, r), 对c/d求的上下界是(l, r]
然后当某一层a/b的上界==c/d的下界的时候，这个分数就是p/q了
考虑一下这个东西同样是可以加速的，a/b的下界和c/d的上界我们是不关心的，加速方法同上
然后考虑加速a/b的上界r1和c/d的下界l2，我们非常关注他们第一次分开的时候
也就是最早满足r1 <= l2的时候，所以这个也是二分
至此我们就解决了这个问题，时间复杂度和上面是相同的！
