[NOIp提高组2016]组合数问题

题目大意

求在 \(0 \leq i \leq n\) 且 \(0 \leq j \leq min(i,m)\) 中组合数\(C_i^j\)是k的倍数的个数

\(t\)次询问\(n\)和\(m\)，\(1 \leq t \leq 10^4,1 \leq n,m \leq 2000\)

解题思路

看到数据范围，好像直接预处理组合数对k取模是不错的选择

但是直接套用公式

\[C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

是不可行的，难以判断是否有因数k

所以，我们可以选用C的另一个递推式

\[C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1} \]

边界\(C_i^0=1\)

然后就可以\(O(nm)\)预处理所有组合数对k取模的值

这还不够，如果就此为止复杂度仍然可以在询问时爆炸

我们需要应用矩阵前缀和的技巧（容斥原理）

令\(sum_{i,j}\)表示询问i,j的答案（所有\(C_u^v,0<=u<=i,0<=v<=j\)中被k整除的组合数的个数）

那么我们有如下递推式：

\[sum_{i,j}=sum_{i-1,j}+sum_{i,j-1}-sum_{i-1,j-1}+[C_{i,j}==0] \]

询问\(n,m\)的答案就是\(sum_{n,m}\)

#include<iostream>
#include<cstdio>

int t,k,n,m;
char C[3000][3000];
int sum[3000][3000];

int main(){
	scanf("%d%d",&t,&k);
	for (int i=0;i<=2000;i++) C[i][0]=1;
	for (int i=1;i<=2000;i++)
		for (int j=1;j<=i;j++)
			C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%k;
	for (int i=0;i<=2000;i++)
		for (int j=0;j<=2000;j++){
			sum[i][j]=((C[i][j]==0)&&(j<=i));
			if (i) sum[i][j]+=sum[i-1][j];
			if (j) sum[i][j]+=sum[i][j-1];
			if (i&&j) sum[i][j]-=sum[i-1][j-1];
		}
	for (int i=1;i<=t;i++){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		printf("%d\n",sum[n][m]);
	}
}