[SHOI2017]组合数问题

题目大意

给定\(n,r,k,p\)

\(1 \leq n \leq 10^9\)

\(0 \leq r,k \leq 50\)

\(2 \leq p \leq 2^{30}+1\)

求

\[\left(\sum_{i=0}^\infty {C_{nk}^{ik+r}}\right) \ mod \ p \]

即

\[(C_{nk}^{r}+C_{nk}^{k+r}+C_{nk}^{2k+r}+...+C_{nk}^{(n-1)k+r}+C_{nk}^{nk+r}+...) \ mod \ p \]

解题思路

根据\(C\)的另一个递推式：

\[C_{i}^{j}=C_{i-1}^{j}+C_{i-1}^{j-1} \]

我们做一些改变

令\(dp_{i,j}\)表示取\(i\)个，取的个数模\(k\)余\(j\)的方案总数

递推式很类似：

\[dp_{i,j}=dp_{i-1,j}+dp_{i-1,(j-1+k)\%k} \]

这个式子就可以矩阵乘法加速

\[ \left[ \begin{matrix} 1&0&0&0&\cdots&0&1 \\ 1&1&0&0&\cdots&0&0 \\ 0&1&1&0&\cdots&0&0 \\ 0&0&1&1&\cdots&0&0 \\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots \\ 0&0&0&0&\cdots&1&1 \\ 1&0&0&0&\cdots&0&1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} dp_{i-1,0} \\ dp_{i-1,1} \\ dp_{i-1,2} \\ dp_{i-1,3} \\ \vdots \\ dp_{i-1,k-2} \\ dp_{i-1,k-1} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} dp_{i,0} \\ dp_{i,1} \\ dp_{i,2} \\ dp_{i,3} \\ \vdots \\ dp_{i,k-2} \\ dp_{i,k-1} \end{matrix} \right] \]

答案即为\(dp_{nk,r}\)（在\(nk\)个元素中取的个数模\(k\)余\(r\)的方案总和）

复杂度\(O(k^3lognk)\)

要注意一下，\(k=1\)的时候矩阵长这样：

\[ \left[ \begin{matrix} 2 \end{matrix} \right] \]

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

long long n,p,K,r;

struct Matrix{
	long long M[100][100];
	Matrix(){memset(M,0,sizeof(M));}
};
Matrix operator * (Matrix &A,Matrix &B){
	Matrix ret;
	for (int i=0;i<K;i++)
		for (int j=0;j<K;j++)
			for (int k=0;k<K;k++){
				ret.M[i][j]+=A.M[i][k]*B.M[k][j];
				ret.M[i][j]%=p;
			}
	return ret;
}

Matrix E,S;

Matrix Fast_pow(Matrix &P,long long u){
	if (!u) return E;
	Matrix now=Fast_pow(P,u>>1);
	now=now*now;
	if (u&1) now=now*P;
	return now;
}

int main(){
	scanf("%d%d%d%d",&n,&p,&K,&r);
	for (int i=0;i<K;i++){
		S.M[i][i]++;
		S.M[i][(i-1+K)%K]++;
		E.M[i][i]++;
	}
	S=Fast_pow(S,n*K);
	printf("%d",S.M[r][0]);
}