线性代数？图论！

行列式

咕

LGV引理

咕

矩阵树定理

Laplace矩阵

定义Laplace矩阵\(L\)为：\(L=D-A\)。其中\(D\)是对角矩阵，对角线上元素是各个顶点的度，\(A\)是图的邻接矩阵。

定理

定理1（无向图行列式形式）

对于任意的\(i\)，有

\[t(G)=\det L(G)\binom{1,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n}{1,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n} \]

Laplace矩阵所有n-1阶主子式都相等。

小Z的房间

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX=100;
const int mod=1e9;
#define int long long
int n,m,f[MAX][MAX],tot,id[MAX][MAX];string s[MAX];
inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c<='9'&&c>='0'){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
inline int GAUSS(int n){
    int res=1;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=i+1;j<=n;++j){
            while(f[i][i]){
                int t=f[j][i]/f[i][i];
                for(int k=i;k<=n;++k)
                    f[j][k]=(f[j][k]-f[i][k]*t%mod+mod)%mod;
                swap(f[i],f[j]);res=-res;
            }swap(f[i],f[j]);res=-res;
        }res=res*f[i][i]%mod;
    }return (res+mod)%mod;
}
signed main(){
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)  cin>>s[i],s[i]=" "+s[i];
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j)
            if(s[i][j]=='.')  id[i][j]=++tot;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j)
            if(s[i][j]=='.'){
                int p=id[i][j];
                if(s[i-1][j]=='.')  f[p][p]++,f[p][id[i-1][j]]--;
                if(s[i][j-1]=='.')  f[p][p]++,f[p][id[i][j-1]]--;
                if(s[i+1][j]=='.')  f[p][p]++,f[p][id[i+1][j]]--;
                if(s[i][j+1]=='.')  f[p][p]++,f[p][id[i][j+1]]--;
            }
    printf("%lld",GAUSS(tot-1));
}

定理2（有向图内向形式）

对于任意的\(i\)，有

\[t^{root}(G,i)=\det L^{out}(G)\binom{1,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n}{1,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n} \]

图的所有内向树为\(\sum_i t^{root}(G,i)\)

定理3（有向图外向形式）

对于任意的\(i\)，有

\[t^{leaf}(G,i)=\det L^{in}(G)\binom{1,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n}{1,\cdots,i-1,i+1,\cdots,n} \]

定理4（BEST定理）

设G是有向欧拉图，G的不同欧拉回路总数\(ec(G)\)是

\[ec(G)=t^{root}(G,i)\prod_{v\in V}(deg(v)-1)! \]

对于G的任意节点，\(t^{root}(G,i)\)相等。