Solution Set - 数学
A - Perpetual Subtraction
题意：一个数有pi的概率为i，一次操作将数随机变为小于等于它的数，为m次操作后变为每个数的概率。给出的最大数\(N (1 ≤ N ≤ 10^5)\)，操作数\(M (0 ≤ M ≤ 10^{18})\)。
首先有\(O(nm)\)的dp，\(f_{i,j}\)为经过i此操作后为数j的概率，有转移\(f_{i,j}=\sum_{k>=j}f_{i-1,k}\times \frac{1}{k+1}\)。明显可以矩阵优化为\(O(n^3\log m)\)，有转移矩阵
答案为\(A^mP\)
注意这个上三角矩阵，特征值为对角线
对应特征值\(\lambda_i=\frac{1}{i+1}\)的特征向量为\(v_i=((-1)^{i+j} \begin{pmatrix} i \\j\end{pmatrix})^n_{j=0}\)（纵向量）
证明1
设$W=Av_i$ $$\begin{align*}W_k=& \sum_{j=0}^n A_{k,j} v_{i,j}\\ =& \sum_{j=k}^i (-1)^{i+j} \begin{pmatrix} i \\j \end{pmatrix} \frac{1}{j+1}\\ =& \sum_{j=k}^i (-1)^{i+j} \frac{i!}{(i-j)!j!(j+1)} \frac{i+1}{i+1}\\ =& \frac{1}{i+1} \sum_{j=k}^i (-1)^{i+j} \begin{pmatrix} i+1 \\j+1 \end{pmatrix}\\ =& \frac{1}{i+1} \sum_{j=k}^i (-1)^{i+j} (\begin{pmatrix} i\\j \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} i\\j+1 \end{pmatrix})\\ =& \frac{1}{i+1} (\sum_{j=k}^i (-1)^{i+j} \begin{pmatrix} i\\j \end{pmatrix} + \sum_{j=k}^i (-1)^{i+j} \begin{pmatrix} i\\j+1 \end{pmatrix})\\ =& \frac{1}{i+1} (\sum_{j=k}^i (-1)^{i+j} \begin{pmatrix} i\\j \end{pmatrix} - \sum_{j=k+1}^{i+1} (-1)^{i+j} \begin{pmatrix} i\\j \end{pmatrix})\\ =& \frac{1}{i+1} (-1)^{i+k} \begin{pmatrix} i\\k \end{pmatrix}\\ =& \lambda_i v_{i,k} \end{align*}$$于是，我们有
，每一纵列是一个特征向量
我们还需要\(Q\)的逆元，直接给出
证明2
设$W=QQ^{-1}$ $$\begin{align*}W_{i,j}=& \sum_{k=0}^n Q_{i,k} Q_{k,j}^{-1}\\ =& \sum_{k=0}^n (-1)^{i+k} \begin{pmatrix} k\\i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j\\k \end{pmatrix}\\ =& \sum_{k=i}^j (-1)^{i+k} \frac{j!}{(j-k)!(k-i)!i!}\\ =& \frac{j!}{i!(j-i)!} \sum_{k=i}^j (-1)^{i+k} \begin{pmatrix} j-i\\k-i \end{pmatrix}\\ =& \begin{pmatrix} j\\i \end{pmatrix} \sum_{k=0}^{j-i} (-1)^k \begin{pmatrix} j-i\\k \end{pmatrix}\\ =& \begin{pmatrix} j\\i \end{pmatrix} 0^{j-i}\\ \end{align*}$$ $Q_{i,k},Q_{k,j}^{-1}$都非0，要求$i\le k\le j$，所以当$i>j$时，$W_{i,j}=0$； 当$i < j$时，$W_{i,j}=0$；当$i=j$时，$W_{i,j}=1$；特征分解后我们有了\(A^m=Q \Lambda^m Q^{-1}\)，其中\(\Lambda^m_{i,i}= \frac{1}{(i+1)^m}\)可以\(O(n\log m)\)算出。答案为\(Q(\Lambda^m(Q^{-1}P))\)，用结合律从后向前算，因为\(P\)为纵向量，矩阵乘法为\(O(n^2)\)。
继续优化，发现\(Q\)和\(Q^{-1}\)可卷积，使用FFT可以达到\(O(n\log n)\)的复杂度
