多项式多点求值

合集 - 数学(8)

1.数论2023-12-042.大概是数学2023-02-013.组合数学2022-07-304.高斯消元2022-07-225.图的计数2024-01-106.[省选联考 2020 A 卷] 组合数问题2024-01-21

7.多项式多点求值2024-02-06

8.多项式2024-01-29

收起

重点写了我认为的疑难点，若其他部分由疑问或含糊不清，欢迎提出，积极改正

题面：给一n次多项式$F(x)$，求m个数代入的值

构造关于$x_0$的函数，使得代入$x_0$后，值为$0$，则有$G(x)=x-x_0$。做多项式取模$F(x)=Q(x)G(x)+R(x)$，$F(x_0)=Q(x_0)G(x_0)+R(x_0)$，$R(x_0)$只有常数项，即答案

先分治算出$\prod _{i=1}^{m/2}(x-x_i)$和$\prod _{i=m/2+1}^m(x-x_i)$，再分治取模。复杂度$O(nlogn+mlo{g}^{2}m)$

进行优化，多项式除法中

$$Q_r(x)=F_r(x){G_r}^{-1}(x)(\mathrm{mod}{x}^{n-m+1})$$

设$G(x)=\prod _{i=1}^m(x-x_i),G_0(x)=\prod _{i=1}^{m/2}(x-x_i),G1(x)=\prod _{i=m/2+1}^m(x-x_i)$

由$G(x)=G_0(x)G_1(x)$，得${G_{0r}}^{-1}={G_r}^{-1}(x)G_1(x)$

$$\begin{array}{rl}{Q}_{0r}(x)& =F_r(x){G_{0r}}^{-1}(x)\\ & =F_r(x){G_r}^{-1}(x)G_1(x)\\ & =Q(x)G_1(x)\end{array}$$

在分治最底层计算答案时，我们只需要常数项，系数翻转后的最高项。又由于运算在$(\mathrm{mod}{x}^n)$意义下进行，我们考虑的是对n-1项贡献。分治过程中只保留最高的区间长度项，这些可能在最底层贡献最高项。

具体表现为目前区间长度为n的多项式，这一层递归会乘项数为n/2的多项式。至少n/2项才会对n-1项有贡献，现在因为砍掉前n/2项，原n-1项变为n/2-1项，则下一层长度为n/2的递归区间，考虑对n/2-1项的贡献。

流程：

1. 分治预处理$G_r(x)$
2. 求最外层逆元，算出最外层$Q_r(x)=F_r(x){G_r}^{-1}(x)$，并保留后n项
3. 分治计算$Q_r(x)$，最底层最高项即常数项记为$c_i$，这一位答案为$[x^0]F(x)-c_i{x}_i$

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX=4e5+10;
#define int long long
int n,m,f[MAX],x[MAX],ans[MAX],a[MAX],b[MAX],A[MAX],bl,bc,rev[MAX],inv;
const int mod=998244353;int iG[MAX];
inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');c=getchar();}
	return x*f;
}
inline void eva(int*,int*,int*,int);
signed main(){ 
	n=read();m=read();
    for(int i=0;i<=n;++i)  f[i]=read();
    for(int i=1;i<=m;++i)  x[i]=read();
    eva(f,x,ans,max(n,m));
    for(int i=1;i<=m;++i)  printf("%lld\n",ans[i]);
}
int *g[MAX<<2],*h[MAX<<2],bin[MAX<<6],*np(bin);
inline int power(int a,int b){
    int res=1;
    while(b){
        if(b&1)  res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;b>>=1;
    }return res;
}inline void work(int n){
    bl=1;bc=0;
    while(bl<=n)  bl<<=1,++bc;
    for(int i=0;i<bl;++i)
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<bc-1);
}inline void NTT(int *a,int n,int op){
    for(int i=0;i<n;++i)
        if(i<rev[i])  swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
        int wn=power(3,(op*(mod-1)/(i<<1)+mod-1)%(mod-1));
        for(int j=0;j<n;j+=i<<1){
            int w=1;
            for(int k=0;k<i;++k){
                int x=a[j+k],y=w*a[j+k+i]%mod;
                a[j+k]=(x+y)%mod;a[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
                w=w*wn%mod;
            }
        }
    }if(op==-1){
        inv=power(n,mod-2);
        for(int i=0;i<n;++i)  a[i]=a[i]*inv%mod;
    }
}inline void mul(int *f,int *g,int *c,int n){
    work(n<<1);
    for(int i=0;i<n;++i)  a[i]=f[i],b[i]=g[i];
    for(int i=n;i<bl;++i)  a[i]=b[i]=0;
    NTT(a,bl,1);NTT(b,bl,1);
    for(int i=0;i<bl;++i)  a[i]=a[i]*b[i]%mod;
    NTT(a,bl,-1);
    for(int i=0;i<n;++i)  c[i]=a[i];
}void solve(int *f,int *g,int n){
    if(n==1){g[0]=power(f[0],mod-2);return;}
    solve(f,g,n>>1);work(n);
    for(int i=0;i<n;++i)  a[i]=f[i],b[i]=g[i];
    for(int i=n;i<bl;++i)  a[i]=b[i]=0;
    NTT(a,bl,1);NTT(b,bl,1);
    for(int i=0;i<bl;++i)  a[i]=a[i]*b[i]%mod*b[i]%mod;
    NTT(a,bl,-1);
    for(int i=0;i<n;++i)  g[i]=(2*g[i]-a[i]+mod)%mod;
}
void solve1(int pos,int l,int r){
    g[pos]=np;np+=(r-l+2)*2;h[pos]=np;np+=(r-l+2)*2;
    if(l==r){g[pos][0]=1;g[pos][1]=(mod-x[l])%mod;return;}
    int mid=l+r>>1;solve1(pos<<1,l,mid);solve1(pos<<1|1,mid+1,r);
    mul(g[pos<<1],g[pos<<1|1],g[pos],r-l+2);
}void solve2(int pos,int l,int r,int *ans){
    if(l==r){ans[l]=h[pos][0];return;}
    int mid=l+r>>1;
    reverse(g[pos<<1|1],g[pos<<1|1]+r-mid+1);
    mul(h[pos],g[pos<<1|1],A,r-l+1);
    for(int i=0;i<mid-l+1;++i)  h[pos<<1][i]=A[(r-mid)+i];
    solve2(pos<<1,l,mid,ans);
    reverse(g[pos<<1],g[pos<<1]+mid-l+2);
    mul(h[pos],g[pos<<1],A,r-l+1);
    for(int i=0;i<r-mid;++i)  h[pos<<1|1][i]=A[(mid-l+1)+i];
    solve2(pos<<1|1,mid+1,r,ans);
}inline void eva(int *a,int *b,int *c,int n){
    solve1(1,1,n);int M=1;while(M<=n)  M<<=1;
    solve(g[1],iG,M);
    for(int i=0;i<=n;++i)  A[i]=f[n-i];
    mul(A,iG,A,n+n+1);reverse(A,A+n+n+1);
    for(int i=0;i<n;++i)  h[1][i]=A[n+1+i];
    solve2(1,1,n,c);
    for(int i=1;i<=n;++i)  c[i]=(a[0]+c[i]*b[i])%mod;
}