[省选联考 2020 A 卷] 组合数问题

合集 - 数学(8)

1.数论2023-12-042.大概是数学2023-02-013.组合数学2022-07-304.高斯消元2022-07-225.图的计数2024-01-10

6.[省选联考 2020 A 卷] 组合数问题2024-01-21

7.多项式多点求值2024-02-068.多项式2024-01-29

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题面

计算

$$(\sum _{k=0}^{n}f(k)\times x^k\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}))modp$$

的值。

思路

因为模数为合数，不能求逆元，要把组合数的分母消掉。$x^k$似乎不能做什么，$f(k)$的操作空间似乎很大

首先将$f(k)=\sum _{i=0}^m{a}_i{x}^i$转化为$f(k)=\sum _{i=0}^m{b}_i{x}^{\underset{―}{i}}$，下降幂与组合数的关系就大了

根据$x^n=\sum _{i=0}^n\left\{\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right\}{x}^{\underset{―}{i}}$，有

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=0}^m{a}_i{x}^i=& \sum _{i=0}^m{a}_i\sum _{j=0}^i\left\{\begin{array}{c}i\\ j\end{array}\right\}{x}^{\underset{―}{i}}\\ =& \sum _{j=0}^m{x}^{\underset{―}{j}}\sum _{i=j}^m\left\{\begin{array}{c}i\\ j\end{array}\right\}{a}_i\end{array}$$

有$b_j=\sum _{i=j}^m\left\{\begin{array}{c}i\\ j\end{array}\right\}{a}_i$，第二类斯特林数$O(m^2)$递推可得

代入原式

$$ans=\sum _{k=0}^n\sum _{i=0}^m{b}_i{k}^{\underset{―}{i}}\times x^k\times \left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$$

由$k^{\underset{―}{i}}\times \left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=n^{\underset{―}{i}}\times \left(\begin{array}{c}n-i\\ k-i\end{array}\right)$，得

$$ans=\sum _{i=0}^m{b}_i{n}^{\underset{―}{i}}\times \sum _{k=0}^n{x}^k\left(\begin{array}{c}n-i\\ k-i\end{array}\right)$$

由$k-i<0$时此项为$0$，改为枚举$k-i$，得

$$ans=\sum _{i=0}^m{b}_i{n}^{\underset{―}{i}}{x}^i\times \sum _{k=0}^{n-i}{x}^k\left(\begin{array}{c}n-i\\ k\end{array}\right)$$

由二项式定理得

$$ans=\sum _{i=0}^m{b}_i{n}^{\underset{―}{i}}{x}^i(x+1{)}^{n-i}$$

上式可直接计算

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX=1110;
#define int long long
int n,x,m,w[MAX],S[MAX][MAX],b[MAX],Q=1,W=1,ans,mod,inv;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');c=getchar();}
	return x;
}
inline int power(int a,int b){
    int res=1;
    while(b){
        if(b&1)  res=1ll*res*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod;b>>=1;
    }return res;
}inline void init(){
    S[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=m;++i)
        for(int j=1;j<=i;++j)
            S[i][j]=(S[i-1][j-1]+S[i-1][j]*j)%mod;
    for(int i=0;i<=m;++i){
        for(int j=i;j<=m;++j)
            b[i]=(b[i]+S[j][i]*w[j])%mod;
    }
}
signed main(){ 
    n=read();x=read();mod=read();m=read();
    for(int i=0;i<=m;++i)  w[i]=read();
    init();
    for(int i=0;i<=m;++i){
        ans=(ans+b[i]*Q%mod*W%mod*power(x+1,n-i)%mod)%mod;
        Q=Q*(n-i)%mod;W=W*x%mod;
    }printf("%lld",ans%mod);
}