[省选联考 2020 A 卷] 组合数问题

题面

计算

\[\left(\sum_{k=0}^{n}f(k)\times x^k\times \binom{n}{k}\right)\bmod p \]

的值。

思路

因为模数为合数，不能求逆元，要把组合数的分母消掉。\(x^k\)似乎不能做什么，\(f(k)\)的操作空间似乎很大

首先将\(f(k)=\sum_{i=0}^{m} a_i x^i\)转化为\(f(k)=\sum_{i=0}^{m} b_i x^{\underline i}\)，下降幂与组合数的关系就大了

根据\(x^n =\sum_{i=0}^{n} \begin{Bmatrix} n \\ i \end{Bmatrix} x^{\underline i}\)，有

\[\begin{align*} \sum_{i=0}^{m} a_i x^i = & \sum_{i=0}^{m} a_i \sum_{j=0}^{i} \begin{Bmatrix} i \\ j \end{Bmatrix} x^{\underline i} \\ = & \sum_{j=0}^{m} x^{\underline j} \sum_{i=j}^{m} \begin{Bmatrix} i \\ j \end{Bmatrix} a_i \end{align*}\]

有\(b_j =\sum_{i=j}^{m} \begin{Bmatrix} i \\ j \end{Bmatrix} a_i\)，第二类斯特林数\(O(m^2)\)递推可得

代入原式

\[ans = \sum_{k=0}^{n} \sum_{i=0}^{m} b_i k^{\underline i} \times x^k \times \begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} \]

由\(k^{\underline i} \times \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} =n^{\underline i} \times \begin{pmatrix} n-i \\ k-i \end{pmatrix}\)，得

\[ans = \sum_{i=0}^{m} b_i n^{\underline i} \times \sum_{k=0}^{n} x^k \begin{pmatrix} n-i \\ k-i\end{pmatrix} \]

由\(k-i<0\)时此项为\(0\)，改为枚举\(k-i\)，得

\[ans = \sum_{i=0}^{m} b_i n^{\underline i} x^i \times \sum_{k=0}^{n-i} x^k \begin{pmatrix} n-i \\ k\end{pmatrix} \]

由二项式定理得

\[ans = \sum_{i=0}^{m} b_i n^{\underline i} x^i (x+1)^{n-i} \]

上式可直接计算

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX=1110;
#define int long long
int n,x,m,w[MAX],S[MAX][MAX],b[MAX],Q=1,W=1,ans,mod,inv;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');c=getchar();}
	return x;
}
inline int power(int a,int b){
    int res=1;
    while(b){
        if(b&1)  res=1ll*res*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod;b>>=1;
    }return res;
}inline void init(){
    S[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=m;++i)
        for(int j=1;j<=i;++j)
            S[i][j]=(S[i-1][j-1]+S[i-1][j]*j)%mod;
    for(int i=0;i<=m;++i){
        for(int j=i;j<=m;++j)
            b[i]=(b[i]+S[j][i]*w[j])%mod;
    }
}
signed main(){ 
    n=read();x=read();mod=read();m=read();
    for(int i=0;i<=m;++i)  w[i]=read();
    init();
    for(int i=0;i<=m;++i){
        ans=(ans+b[i]*Q%mod*W%mod*power(x+1,n-i)%mod)%mod;
        Q=Q*(n-i)%mod;W=W*x%mod;
    }printf("%lld",ans%mod);
}