后缀数组（SA）

合集 - 字符串(6)

1.manacher2023-07-292.BZOJ1461字符串的匹配（kmp）2022-07-273.[NOI2014] 动物园 （kmp）2022-07-254.KMP2022-07-23

5.后缀数组（SA）2023-12-26

6.后缀自动机（SAM）2023-12-30

收起

终于刷完网络流后准备继续做sa，发现自己忘完了，于是来写个博客。

应用

用$O(nlogn)$将字符串后缀排序，以找到优美的性质

概念

两个数组：$sa$和$rk$
$s{a}_i$表示将字符串后缀排序后，排名为$i$的后缀的开头字母在原串的位置
$r{k}_i$表示后缀$i$的排名
满足性质： $sa[rk[i]]=i,rk[sa[i]]=i$

一定一定要清楚区分两个数组，因为经常会嵌套使用，如$sa[cnt[rk[id[i]]]--]=id[i]$。意义不够清楚的话，就很难理解代码

oi-wiki的字符串太长了，不方便手模，所以手绘了一个

原理

主要是倍增的思想

对于两个串$S$和$T$，其中$S=s1+s2,T=t1+t2.s1,s2,t1,t2$长度相等。已知$s1$和$t1$，$s2$和$t2$的大小关系，可知$S$和$T$的大小关系，以前串为第一关键字，后串为第二关键字比较即可。

当排名各不相同时跳出。得到$rk$数组，由$sa[rk[i]]=i$可得$sa$。

代码

前方大量注释来袭

int p,rk[MAX],sa[MAX],cnt[MAX],id[MAX],ork[MAX],s[MAX];
inline bool cmp(int x,int y,int w){
    return ork[x]==ork[y]&&ork[x+w]==ork[y+w];
};
inline void SA(int n){
	m=128;//字符串内容的最大值
	for(int i=1;i<=n;++i)  cnt[rk[i]=s[i]]++;
    for(int i=1;i<=m;++i)  cnt[i]+=cnt[i-1];
    for(int i=n;i;--i)  sa[cnt[rk[i]]--]=i;
//O(n)基数排序
//与上图的串为例，rk 97 97 98 97 98，sa 1 2 4 3 5
    for(int j=1;p!=n;j<<=1,m=p){
//p为排名数组中的最大值，当p==n时排序完成
//j为上次排序长度
        p=0;
//当前串已排好长度为j的序，即第一关键字是有序的，那么只需排序第二关键字。实质是将超出字符串范围的后缀放到同第一关键字的最前，即一起放在基数排序的前面
        for(int i=n;i>n-j;--i)  id[++p]=i;
//没超出的依次放入
        for(int i=1;i<=n;++i)
            if(sa[i]>j)  id[++p]=sa[i]-j;
//第二次排序中，id 5 1 3 2 4
        memset(cnt,0,(m+1)*sizeof(int));
        for(int i=1;i<=n;++i)  cnt[rk[id[i]]]++;
        for(int i=1;i<=m;++i)  cnt[i]+=cnt[i-1];
        for(int i=n;i;--i)  sa[cnt[rk[id[i]]]--]=id[i];
//id中5在3前，所以基数排序中从后往前扫，从后往前放，于是sa中5在3前。sa 1 2 4 5 3
//此时只排了第二关键字为0的后缀，sa不完全是此次排序后的sa
        memcpy(ork,rk,sizeof(rk));p=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)
            rk[sa[i]]=cmp(sa[i],sa[i-1],j)?p:++p;
//离散化，第一或第二关键字不一样就和上一个区分开，更新rk和p，如上图第二次排序rk 1 2 4 2 3,p=4
    }for(int i=1;i<=n;++i)  sa[rk[i]]=i;
//根据rk更新最终sa
}

代码不好背也不好理解，可以多手模或者干脆所学几遍

height数组

LCP

$lcp(i,j)$表示后缀i和后缀j的最长公共前缀

height

$height[i]=lcp(sa[i],sa[i-1])$，即排名为i的后缀与前一名后缀的最长公共前缀

$height[1]=0$

lemma

$height[rk[i]]\ge height[rk[i-1]]-1$

证明

当$height[rk[i-1]]\le 1$时，$height[rk[i]]\ge 0\ge height[rk[i-1]]-1$

当$height[rk[i-1]]>1$时，即$lcp(i-1,sa[rk[i-1]-1])>1$

后缀i是后缀i-1的后缀，设后缀i-1为"$aAB$"，则后缀i为"$AB$"。其中，$a$为$s[i-1]$，$AB$代表一个字符串

设后缀$sa[rk[i-1]-1]$为"$aAC$"，其中$C<B$且$C$可以为空串，则它与后缀i-1的lcp为$aA$（长度$height[rk[i-1]]$）。它又有后缀$AC$，与后缀i至少有$A$（长度$height[rk[i-1]]-1$）的公共前缀。

又因为后缀i与它排名相邻的字符串相似度最高，所以$height[rk[i]]>=|A|=height[rk[i-1]]-1$

由以上引理可以暴力移动k（后缀i与排名上一名的lcp），其下降不超过n次，最大不超过n，所以最多移动2n次，即复杂度$O(n)$

代码

inline void getth(){
    int k=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if(rk[i]==1)  continue;
        if(k)  --k;
        int j=sa[rk[i]-1];
        while(i+k<=n&&j+k<=n&&s[i+k]==s[j+k])  ++k;
        height[rk[i]]=k;
    }
}

定理

两子串最长公共前缀$lcp(sa[i],sa[j])=min\{height[i+1\dots j]\}$