斐波那契数列F(n)【n超大时的(矩阵加速运算) 模板】

hihocoder #1143 : 骨牌覆盖问题·一

时间限制:10000ms
单点时限:1000ms
内存限制:256MB

描述

骨牌,一种古老的玩具。今天我们要研究的是骨牌的覆盖问题:
我们有一个2xN的长条形棋盘,然后用1x2的骨牌去覆盖整个棋盘。对于这个棋盘,一共有多少种不同的覆盖方法呢?
举个例子,对于长度为1到3的棋盘,我们有下面几种覆盖方式:

提示:骨牌覆盖

提示:如何快速计算结果

输入

第1行:1个整数N。表示棋盘长度。1≤N≤100,000,000

输出

第1行:1个整数,表示覆盖方案数 MOD 19999997

样例输入
62247088
样例输出
17748018

分析:n超大,如果按照递推计算斐波那契第n项相当费时间,线性代数的矩阵有加速运算的效果。

此代码基本可以算作模板,但需要注意一个地方,在上面的这道题目中,f[1]=1,f[2]=2,,,以此类推下去。
但有的序列可能是:1 1 2 3,,,因为有一点不同就需要稍微修改一下矩阵累乘的次数,也就是矩阵的指数。
代码:
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <queue>
#include <math.h>
#define eps 1e-8
#include <algorithm>

using namespace std;

//矩阵快速幂运算(矩阵加速运算)

struct matrix{
    long long a[2][2]; //定义2x2的矩阵
};

matrix mul(matrix x, matrix y, long mod )
{
    matrix ret; //按照矩阵相乘求ret矩阵的每个元素的值 然后返回它
    ret.a[0][0]=((x.a[0][0]%mod)*y.a[0][0]%mod + (x.a[0][1]%mod)*y.a[1][0]%mod )%mod;
    ret.a[0][1]=((x.a[0][0]%mod)*y.a[0][1]%mod + (x.a[0][1]%mod)*y.a[1][1]%mod )%mod;
    ret.a[1][0]=((x.a[1][0]%mod)*y.a[0][0]%mod + (x.a[1][1]%mod)*y.a[1][0]%mod )%mod;
    ret.a[1][1]=((x.a[1][0]%mod)*y.a[0][1]%mod + (x.a[1][1]%mod)*y.a[1][1]%mod )%mod;
    return ret;
}

//求矩阵x的幂取模,e为指数
matrix mypow(matrix x, long long e, long mod)//(x^e)%mod
{
    matrix ret, temp;
    if(e==0){
        ret.a[0][0]=1; ret.a[0][1]=0;
        ret.a[1][0]=0; ret.a[1][1]=1;
        return ret;
    }
    if(e==1) return x; //当指数为1时,返回原来的矩阵

    temp=mypow(x, e>>1, mod); //x的 e/2次方
    ret=mul(temp, temp, mod); //ret=temp*temp
    if(e&1) ret=mul(ret, x, mod); //如果e为奇数,ret乘以x

    return ret; //返回答案
}


int main()
{
    long n, m=19999997;//m就是mod
    matrix ans;

    while(scanf("%ld", &n)!=EOF)
    {
        //矩阵初始化
        ans.a[0][0]=1; ans.a[0][1]=1;
        ans.a[1][0]=1; ans.a[1][1]=0;

        if( n ){
            ans = mypow(ans, n, m); //此处的n就是指数(考虑n是否在对应的题目中需要修改), m是取模数
            printf("%lld\n", ans.a[0][0]);
        }else{
            printf("0\n");
        }
    }
    return 0;
}

 


posted @ 2015-07-28 21:26  我喜欢旅行  阅读(654)  评论(0编辑  收藏  举报