最短路算法总结（*【模板】）
1.Dijkstra算法:（计算正权图上的单源最短路 single-source shortest paths (sssp) ）从单个节点出发到所有节点的最短路。复杂度：O(n*n)
该算法适用于：有向图和无向图。
1). O(n^2)的实现：邻接矩阵map存储实现，INF表示无穷大
void Dijkstra(int s, int e, int n) //从s开始到e点的最短路，有n个节点，编号：0-->n-1.
{
memset(vis, 0, sizeof(vis));
int i, j;
for(i=0; i<n; i++)
dis[i]=(i==0?0:INF);
for(i=0; i<n; i++)
{
int mm=INF; int pos;
for(j=0; j<n; j++)
{
if(!vis[j] && dis[j]<m)
m=dis[pos=j];
}
vis[pos]=1;
for(j=0; j<n; j++)
{
d[j]=min(dis[j], dis[pos]+map[pos][j] );
}
}
printf("%d\n", dis[e]); //假设最短路一定存在
}
优化时间复杂度的dijkstra算法：
代码：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 1000+1
using namespace std;
struct Edge
{
int from, to, dis;
Edge(int u, int v, int w):from(u), to(v), dis(w)
{}
};
struct HeapNode
{
int d, u;
bool operator <(const HeapNode&x)const
{
return d>x.d;
}
};
struct Dijkstra
{
int n, m;
vector<Edge>edges;
vector<int>G[maxn];
bool vis[maxn]; //是否已永久标记
int dis[maxn]; //s到各个点的距离
int p[maxn]; //最短路中的上一个弧
void init(int n)
{
this->n=n;
for(int i=0; i<n; i++)
G[i].clear();
edges.clear();
}
void Add_edge(int from ,int to, int dis)
{
edges.push_back(Edge(from, to, dis));
m=edges.size();
G[from].push_back(m-1);
}
void dijkstra(int s)
{
priority_queue<HeapNode>q;
for(int i=0; i<n; i++)
dis[i]=INF;
dis[s]=0;
memset(vis, false, sizeof(vis));
q.push(HeapNode{0, s} );
while(!q.empty())
{
HeapNode x=q.top(); q.pop();
int u=x.u;
if(vis[u])
continue;
vis[u]=true;
for(int i=0; i<G[u].size(); i++)
{
Edge &e=edges[G[u][i]];
if(dis[e.to]>dis[u]+e.dis )
{
dis[e.to]=dis[u]+e.dis;
p[e.to]=G[u][i];
q.push((HeapNode){dis[e.to], e.to} );
}
}
}
}
};
转载：http://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6791765
2. Bellman-Ford算法总结：时间复杂度为：O(n*m)
Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法，但它局限于边的权值非负的情况，若图中出现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最短路径就可能是错的。
这时候，就需要使用其他的算法来求解最短路径，Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼（Richard Bellman, 动态规划的提出者）和小莱斯特•福特（Lester Ford）发明。
适用条件&范围：
单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);
有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);
边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);
差分约束系统;
Bellman-Ford算法的流程如下：
给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0；
以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；
为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。
可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).
Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。
测试代码如下：（下面为有向图的Bellman-Ford算法。。。。。）
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MAX 0x3f3f3f3f
#define N 1010
int nodenum, edgenum, original; //点，边，起点
typedef struct Edge //边
{
int u, v;
int cost;
}Edge;
Edge edge[N];
int dis[N], pre[N];
bool Bellman_Ford()
{
for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化
dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);
for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)
for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)
if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（顺序一定不能反~）
{
dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;
pre[edge[j].v] = edge[j].u;
}
bool flag = 1; //判断是否含有负权回路
for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)
{
flag = 0;
break;
}
return flag;
}
void print_path(int root) //打印最短路的路径（反向）
{
while(root != pre[root]) //前驱
{
printf("%d-->", root);
root = pre[root];
}
if(root == pre[root])
printf("%d\n", root);
}
int main()
{
scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);
pre[original] = original;
for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
{
scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);
}
if(Bellman_Ford())
for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路
{
printf("%d\n", dis[i]);
printf("Path:");
print_path(i);
}
else
printf("have negative circle\n");
return 0;
}
测试数据： 4 6 1 1 2 20 1 3 5 4 1 -200 2 4 4 4 2 4 3 4 2 和： 4 6 1 1 2 2 1 3 5 4 1 10 2 4 4 4 2 4 3 4 2
Bellman-Ford算法的核心代码模板：
bool Bellman_Ford()
{
for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化
dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);
for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)
for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)
if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（顺序一定不能反~）
{
dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost; }
bool flag = 1; //判断是否含有负权回路
for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)
{
flag = 0;
break;
}
return flag;
}
样例题目：hihocoder 1081 ( n个点， m条边，起点s，终点是t，求s到t的最短距离？)
代码：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define N 10000+5
#define INF 0x3f3f3f3f
struct Edge
{
int u, v;
int w;
}edge[N];
int n, m;
int dis[N];
int Bellman_Ford(int s, int e, int dd)
{
int i, j;
for(i=1; i<=n; i++)
{
dis[i]=(i==s?0:INF);
}
for(i=0; i<n-1; i++) //迭代n-1
{
for(j=0; j<dd; j++)
{
if( dis[ edge[j].v] > dis[edge[j].u]+edge[j].w )
dis[ edge[j].v] = dis[edge[j].u]+edge[j].w; //路径松弛
}
}
bool flag=true; //假设存在合法的最短路
for(i=0; i<dd; i++)
{
if(dis[ edge[j].v] > dis[edge[j].u]+edge[j].w )//只有存在负环才会出现这种情况
{
flag=false; break;
}
}
return flag;
}
int main()
{
int s, t;
scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &s, &t);
int a, b, c;
int e=0;
for(int i=0; i<m; i++)
{
scanf("%d %d %d", &a, &b, &c );
edge[e].u=a; edge[e].v=b; edge[e++].w=c;
edge[e].v=a; edge[e].u=b; edge[e++].w=c; //建立无向图
}
if(Bellman_Ford(s, t, e)==true )
{
printf("%d\n", dis[t] ); //输出起点到终点的最短距离
}
else
printf("......\n"); //如果不存在最短路就输出。。。。。。
return 0;
}
Bellman_Ford算法还可统一用FIFO队列来处理，并且比较常用！
SPFA算法（Bellman-ford的队列优化），只要最短路径存在，SPFA算法必能求出最小值。
题目：hihocoder http://hihocoder.com/problemset/problem/1093
- 样例输入
-
5 10 3 5 1 2 997 2 3 505 3 4 118 4 5 54 3 5 480 3 4 796 5 2 794 2 5 146 5 4 604 2 5 63
- 样例输出
-
172
#include <stdio.h> #include <string.h> #include <stdlib.h> #include <ctype.h> #include <math.h> #include <iostream> #include <string> #include <queue> #include <vector> #include <algorithm> #define INF 0x3f3f3f3f using namespace std; int n, m, st, en; struct node { int v, w; }; vector<node>q[100000+100]; int dis[100000+100]; bool vis[100000+100]; void SPFA() { queue<int>que; memset(vis, 0, sizeof(vis)); for(int i=0; i<=n; i++) dis[i]=INF; dis[st]=0; que.push(st); while(!que.empty()) { int cur=que.front(); que.pop(); vis[cur]=1; int len=q[cur].size(); for(int i=0; i<len; i++){ int v=q[cur][i].v; //v是与之相连的点 if(dis[v]>(dis[cur]+q[cur][i].w) ){//如果当前保存的到v点的距离 大于 从cur到v间接路径的距离 dis[v] = dis[cur]+q[cur][i].w;//进行一次松弛 if(!vis[v]){ que.push(v); vis[v]=1;//入队列标记访问 } } } vis[cur]=0;//将该点的标记撤销 } } int main() { scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &st, &en); int u, v, w; node temp; for(int i=0; i<m; i++){ scanf("%d %d %d", &u, &v, &w); temp.v=v; temp.w=w; q[u].push_back(temp); temp.v=u; q[v].push_back(temp); }//建立双向边 SPFA(); printf("%d\n", dis[en]); return 0; }
3. Floyd算法总结 ：O(n^3) 建议数据量大概在：200--400左右
算法：如果要求出图中每两点之间的最短路，不必调用n次Dijkstra（边权均为正），或者Bellman_Ford算法（有负权）。有个更简单的算法可以实现---Floyd-Warshall算法
代码：
for(i=0; i<n; i++)
{
for(j=0; j<n; j++)
dis[i][j]=(i==j?0:INF); //初始化：自己到自己的距离为0
} //自己到其它节点的距离为无穷大
for(k=0; k<n; k++)
{
for(i=0; i<n; i++)
{
for(j=0; j<n; j++)
dis[i][j]=min(dis[i][j], dis[i][k]+dis[k][j] );
}
}
注意：这里会有一个潜在的问题：就是数据类型的溢出问题，如果INF定义太大，加法dis[i][k]+dis[k][j]可能会有溢出的危险。但是，如果定义太小则可能称为最短路的一部分。
为此，估计一下最短路的实际长度上限，然后INF 设置成比它稍大一点的值。例如：最多有1000条边，边的权值最大不超过1000， 则可以定义INF=1000*1000+1
但是还有更可靠的写法，代码：
for(k=0; k<n; k++)
{
for(i=0; i<n; i++)
{
for(j=0; j<n; j++)
if(dis[i][k]<INF && dis[k][j]<INF )
{
dis[i][j]=min(dis[i][j], dis[i][k]+dis[k][j] );
}
}
}
