SPFA 算法（剪辑）（学习！）

SPFA算法

    单源最短路径的算法最常用的是Dijkstra，些算法从时间复杂度来说为O（n^2),但是面对含有负权植的图来说就无能为力了，此时 Dellman-ford算法就有用了，这咱算法是采用的是动态规化的思想，但是1994年西南交通大学段凡丁发表了SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)听这个名字就懂了，这种算法在时间上一定很快了。它是对Dellman-ford的优化，所以建议今后直接学SPFA。很多时候，给 定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。

思路：
   简洁起见，我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。
和上文一样，我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，而且用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且 v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。
  定理3 只要最短路径存在，上述SPFA算法必定能求出最小值。
证明：每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于 我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最 短路径估计值就是对应结点的最短路径值。（证毕）
刚才我们只是笼统地说SPFA算法在效率上有过人之处，那么到底它的复杂度是怎样的？
  定理4 在平均情况下，SPFA算法的期望时间复杂度为O(E)。
证明：上述算法每次取出队首结点u，并访问u的所有临结点的复杂度为O(d)，其中d为点u的出度。运用均摊分析的思想，对于|V|个点|E|条边的图，点的平均出度为，所以每处理一个点的复杂度为O( )。假设结点入队的次数h，显然h随图的不同而不同。但它仅与边的权值分布有关。我们设 h=kV，则算法SPFA的时间复杂度为。在平均的情况下，可以将k看成一个比较小的常数，所以SPFA算法在一般情况下的时间复杂度为O(E)。（证毕）

聪明的读者一定发现了，SPFA和经过简单优化的Bellman-Ford无论在思想上还是在复杂度上都有相似之处。确实如此。两者的思想都属于标号修正 的范畴。算法是迭代式的，最短路径的估计值都是临时的。算法思想是不断地逼近最优解，只在最后一步才确定想要的结果。但是他们实现的方式上存在差异。正因 为如此，它们的时间复杂度其实有较大差异的。在Bellman-Ford算法中，要是某个点的最短路径估计值更新了，那么我们必须对所有边指向的终点再做一次松弛操作；在SPFA算法中，某个点的最短路径估计值更新，只有以该点为起点的边指向的终点需要再做一次松弛操作。在极端情况下，后者的效率将是前者的n倍，一般情况下，后者的效率也比前者高出不少。基于两者在思想上的相似，可以这样说，SPFA算法其实是Bellman-Ford算法的一个进一步优化的版本。

算法流程

算法大致流程是用一个队列来进行维护。初始时将源加入队列。每次从队列中取出一个元素，并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。直到队列为空时算法结束。

这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford,利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法

SPFA——Shortest Path Faster Algorithm，它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。SPFA的实现甚至比Dijkstra或者Bellman_Ford还要简单：

设Dist代表S到I点的当前最短距离，Fa代表S到I的当前最短路径中I点之前的一个点的编号。开始时Dist全部为+∞，只有Dist[S]=0，Fa全部为0。

维护一个队列，里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。

每次迭代，取出队头的点v，依次枚举从v出发的边v->u，设边的长度为len，判断Dist[v]+len是否小于 Dist[u]，若小于则改进Dist[u]，将Fa[u]记为v，并且由于S到u的最短距离变小了，有可能u可以改进其它的点，所以若u不在队列中，就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空，也就是S到所有的最短距离都确定下来，结束算法。若一个点入队次数超过n，则有负权环。

SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似，不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也 就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。设一个点用来作为迭代点对其它点进行改进的平 均次数为k，有办法证明对于通常的情况，k在2左右。 

代码：

存图的方式我是利用链式向前星的方式存图的，下面是代码：

#include
#include
#include
#define Maxn 100
#define Maxm 10000
#define Max 10000

int used[Maxn],outqueue[Maxn],head[Maxn],queue[Maxn],low[Maxn],n,m;

struct Edge
{
       int to,w,next;
}edge[Maxm];

bool SPFA(int start)
{
     int i =0, iq = 0;
     used[start] = 1;
     queue[iq++] = start;
     low[start] = 0;
     while (i != iq)
     {
           int top = queue[i];
           used[top] = 0;
           outqueue[top]++;//用来判断是否有环路
           if (outqueue[top] > n) return false;
           for (int k = head[top]; k != -1; k = edge[k].next)//宽搜每条边
           {
               if (low[edge[k].to] > low[top] + edge[k].w)//对点进行松驰
                  low[edge[k].to] = low[top] + edge[k].w;
               if (!used[edge[k].to])
               {
                  used[edge[k].to] = 1;
                  queue[iq++] = edge[k].to;
               }
           }
           i++;
      }
      return true;
}
int main()
{
    while (scanf ("%d%d", &n ,&m) != EOF)
    {
          memset (used, 0 ,sizeof(used));
          memset (head, -1 ,sizeof(head));
          memset (outqueue, 0 ,sizeof(outqueue));
          memset (low, Max, sizeof(low));
          int k = 0;
          while (m--)
          {
                int a,b,w;
                scanf ("%d%d%d", &a, &b, &w);
                edge[k].to = b;
                edge[k].w = w;
                edge[k].next = head[a];
                head[a] = k++;
          }
          if (SPFA(1))
             printf ("%d\n", low[n]);
          else
             printf ("不存在最短\n");
    }
}

刚才那个代码是最短路里面效率最高的，为了提高效率，队列那个是自己写的，而不是调用stl里面的，但是看起来比较难，很难读懂，下面是用stl里面的queue写的。

 

     完整代码：

// SPFA算法

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <queue>
#include <algorithm>

#define Maxn 100
#define Maxm 10000
#define Max 10000

using namespace std;

int used[Maxn],outqueue[Maxn];
int head[Maxn],low[Maxn];
int n,m;

struct Edge
{
       int to, w, next ;
}edge[Maxm];

bool SPFA (int start)
{
     queue<int>a ;
     used[start] = 1;
     low[start] = 0;
     a.push(start);
     while (!a.empty())
     {
           int top = a.front();
           a.pop();
           outqueue[top]++;
           if (outqueue[top] > n) return false;
           for (int k = head[top]; k!= -1; k = edge[k].next)
           {
               if (low[edge[k].to] > low[top] + edge[k].w)
                  low[edge[k].to] = low[top] + edge[k].w;
               if (!used[edge[k].to])
               {
                   used[edge[k].to] = 1;
                   a.push(edge[k].to);
               }
           }
     }
     return true;
}
int main()
{
    while (scanf ("%d %d", &n ,&m) != EOF)
    {
          memset (used, 0 ,sizeof(used));
          memset (head, -1 ,sizeof(head));
          memset (outqueue, 0 ,sizeof(outqueue));
          memset (low, Max, sizeof(low));
          int k = 0;
          while (m--)
          {
                int a,b,w;
                scanf ("%d %d %d", &a, &b, &w);
                edge[k].to = b;
                edge[k].w = w;
                edge[k].next = head[a];
                head[a] = k++;
          }
          if (SPFA(1))
             printf ("%d\n", low[n]);
          else
             printf ("不存在最短\n");
    }
    return 0;
}