【杂题乱写】北京大学图灵班二次选拔考试

fengwu 把题给了，我下午想了想，想出来了 0 个

A

题意：求单位正方形中最大的等边三角形边长，不要求顶点位置。

solution：首先得找到符合哪个特征有可能得到最优解。第一反应肯定是根据对称性猜一波一个等边三角形一个顶点和正方形顶点重合，整个图形关于对角线对称。然后你猜对了。

过程也很好写，如果有两个顶点在两条对边上，那么一定可以把它平移使其满足一个顶点和正方形顶点重合。不妨设这个重合的点是左下角的点。

设等边三角形一条边和水平边形成的夹角是 $\theta(0\le \theta \le 15^\circ)$ 。这条边的另外一个端点一定是在正方形的边上，求三角函数的最值，求导。

B

题意：有多少数列满足数列中所有元素值 $\in\{1,2\}$ 且所有元素和为 $n$

设 $f_i$ 表示和为 $i$ 的数列数量，那么考虑往数列后面添加数字即可。转移就是 $f_{i}=f_{i-1}+f_{i-2}$ 笑死我们了。

C

题意：定义二元运算，满足结合律，且存在左单位元 $e$ ，存在左逆元，求证， $e$ 同样是右单位元，且左逆元同样是右逆元

高考有一次模拟考试有一个类似的凑数题。

你现在掌握的信息是 $\exists a,ab=e,eb=b$ 要证明 $be=b$

直接把 $ab=e$ 带入待证明的 $be=b$ 有 $b=be=bab=b(ab)=be$ 就证明了第一问

第二问的工作就是证明 $ba=e$ 。注意到 $ba=bea=baba=(ba)ba$ 根据单位元的定义 $ba=e$

D

题意：判断是否存在定义域和值域都是正整数的函数 $f(x)$ 满足 $f(xy)=f(x)+f(y)-1$ ，如果存在：是否存在无穷个，是否存在严格单增的这样的函数

将原题中信息变换成 $g(x)=f(x)-1,g(xy)=g(x)+g(y)$ 这样我们只关注质数处点值即可。质数处点值随便取，所以就肯定是无穷个。

假设满足严格单调递增，所以 $f(x)\ge x$ ，但是任取 $p^k$ 都可以发现 $f(p^k)=kf(p)$ ，对数和线性不同阶，过程不难写。

E

题意：任选 99 个数，是否必然存在其中 50 个数相加可以被 50 整除，求证明

于泽凯：这原来是20世纪 Fields Medal 的老哥的小成果，现在已经成了数竞板子。

既然是成果，所以扩大命题至：任选 $2n-1$ 个数，一定可以找到一个大小为 $n$ 的子集满足它的和是 $n$ 的倍数

先考虑 $n$ 是质数的情况，根据费马小定理，如果满足任意一个大小为 $n$ 的子集和都不是 $n$ 的倍数，那么有

S = \sum_{1 \leq i_{1} \dots < i_{n} \leq 2 n - 1} (x_{i_{1}} + \dots + x_{i_{n}})^{n - 1} \equiv (\binom{2 n - 1}{n}) mod n

$S=\sum_{1\le i_1\dots <i_n\le 2n-1} (x_{i_1}+\dots+x_{i_n})^{n-1}\equiv \binom{2n-1}n\bmod n$

根据卢卡斯定理不难发现 $\binom{2n-1}n\equiv 1 \bmod n$

我们还有一种计算方法就是把括号拆开，假设 $i_1,\dots i_k$ 这些位置的指数非零，为 $e_1\dots e_k$ ，剩下的选法有 $\binom{2n-1-k}{n-k}=\binom {2n-1-k}{n-1}$ 这个数字相信你也可以通过卢卡斯定理发现他在模 $n$ 意义下是 $0$ 所以产生了矛盾。

剩下的工作是证明 $n\leftarrow np$ （ $p$ 是质数）的情况，我们使用归纳法来处理。在这 $2pn-1$ 个数字里面我们可以找到 $2p-1$ 组数字，每组 $n$ 个，满足他们的和是 $n$ 的倍数，这样 $2p-1$ 个 $n$ 的倍数中选 $p$ 个使得他们是 $p$ 的倍数，根据归纳假设也是能找到的。