【考试总结】2022-08-16

网格

问题转化为求删边最少使得其存在欧拉回路。边界包括但不限于 $n,m\le 2$ ，因为可能某一维不存在奇数度数点

奇数度数点只有 $2(n-2+m-2)$ 个，那么保留起点终点奇度数点仍需要删掉 $n+m-5$ 条边。删边之后跑欧拉回路

$n,m$ 都是偶数则在两个边界上交替删边即可做到下界。

如果 $n,m$ 奇偶性不同，直接保留奇数一维的最后两个点为起始终止点，剩下的还是交替删边。

两维都有奇数个点那么需要删掉右下角的两条边，起始终止点也就呼之欲出了。

为什么不会求欧拉回路

在弹栈的时候将其加入路径

毒药

原题 Codeforces Bear And Juice，zxy 是原题识别机！

本题就是上面的题的构造证明部分：将每个饮用物的引用情况刻画为一个 $01$ 矩阵，熊表示列，天数是行。那么显然的限制就是每列只能有最多 $1$ 个 $1$ ，因为是饮用物的饮用情况，如果喝了毒药就寄了，但是不能死两次。另外一条限制就是题目里面给出的，整个矩阵元素数量不超过能死亡熊的数量。

这个条件一定必要，但是仍然需要证明其充分性。可以通过交互得到每次喝酒新寄的熊，也表示成一个 $01$ 矩阵，行数为每天，列数为每头熊。这个矩阵一定唯一映射到 $n$ 个饮用物的矩阵上。

本题做法就是直接搜出来若干矩阵，模拟构造过程

数数

将问题转化成求 $ab\equiv cd\pmod {p-1}$ 。使用中国剩余定理将问题变成求 $a,b,c,d\in[0,p^e),ab\equiv cd\pmod{p^e}$ 的组数，或者说求 $cnt_M$ 表示 $ab\equiv M\pmod{p^e}$ 的 $(a,b)$ 组数再平方

设 $M=sp^j,a=Ap^{e_a},b=Bp^{e_b}$ ，那么显然有 $e_a+e_b=j,AB\equiv s\pmod{p^{e-e_a-e_b}}$ 。任意 $A$ 在模 $p^{e-e_a}$ 意义下都存在唯一一个 $B\in[1,p^{e-j})$ 满足 $AB\equiv s\pmod {p^e}$ 。或者可能可以理解为逆元。

这个 $A$ 的上界是要求 $a\le p^e$ 。

那么在 $B$ 除以 $p$ 的商每增加一个 $p$ 就多出来一个合法值，也就是说有 $p^{e_a}$ 个合法取值。再找 $a=Ap^{e_a}$ 的数量，或者说 $A$ 的数量。其实就是值域内不是 $p$ 倍数的数的数量： $p^{e-e_a-1}(p-1)$ 于是某个 $M$ 的方案数就是 $p^{e-1}(p-1)$ ，还要附上选择 $e_a+e_b=j$ 的方案数 $j+1$ 作系数。