【考试总结】2022-08-08

分块题

列出表达式可以发现每个区间 $[L,R]$ 对于 $B\le R-L$ 的块长的运算量表达式中不平凡的是 $\lfloor\frac{L-1}B\rfloor-\lfloor\frac{R-1}B\rfloor$

枚举 $B$ 和商，对应区间求出来 $\pm 1$ 的和即可。由于有贡献区间限制，于是要树状数组。复杂度来到 $\Theta(n\log^2n)$

神必题

2022-03-13 模拟赛 T3

逆天题

$f_i$ 的 $\rm OGF$ 为 $\displaystyle \left(\prod_{i=0}^{n-1}(1+x^i)\right)^m\mod (x^{n}-1)$

模 $x^{n}-1$ 就是做长度为 $n$ 的 $\rm DFT$ ，于是 $\widehat f_i=\displaystyle\left(\prod_{k=0}^{n-1}1+\omega^{ik}_n\right)^m$ 。设 $d=\gcd(i,n)$，处理掉不是转 $n$ 下转回的情况（挪到指数上），此时可以将表达式写作： $\displaystyle\widehat f_i=\left(\prod_{k=0}^{\frac{n}d-1} (1-\omega^{k}_{n/d})\right)^{dm}$ 。

根据伟大的因式分解哲学，$x^n-1=0$ 有 $n$ 个复根，分别为 $\omega_{n}^0\dots \omega_{n}^{n-1}$ ，于是 $\displaystyle{\rm LHS}=\prod_{i=0}^n x-\omega^{i}_n$ 。带入 $x=-1$ 可以得到 $\widehat f_i$ 的化简过后的形式： $\widehat f_i=[2\nmid \frac{n}d]2^{md}$

最终答案是 $\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}f_{i}^2=\sum_{i=0}^{n-1}f_{i}f_{n-i}=\sum_{i=0}^{n-1}f_{i}f_{-i\pmod n}=[x^0]F^2(x)$ ，也就是一个卷积的形式。不难发现 $\gcd(i,n)=\gcd(j,n)\Rightarrow \widehat f_i=\widehat f_j$ 。于是求出来 $\widehat f$ 之后对于 $d\mid n$ 的 $d$ 计算 $\varphi(\frac{n}d) \widehat f_d^2$ 即可（因为 $\rm IDFT$ 矩阵的第零行全是 $1$）

求 $\widehat f$ 的过程需要暴力搜因子配合光速幂，找因子需要 Pollard-Rho于是我鸽了。$\varphi$ 边搜因数边算即可