【考试总结】2022-08-02

西克

找到满足 $x$ 的祖先 $z$ 中满足 $a_z=b_x$ 的中最靠下的一个。那么正向树上倍增可以求出来 $Qx$ 到 $\rm LCA(Qx,Qy)$ 的结果。剩下半边可以一个一个重链跳。在每条重链上先找到第一个 $a_p$ 等于手上颜色的 $p$。预处理一个反向的倍增，跳到下一条重链的接口处

$\Theta(n\log^2n)$

尼特

求出来所有串的最大匹配之和除以总方案数

设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个字符第 $i$ 个删掉，且和最大匹配差了 $j$ 的方案数。同时设 $g_{i,j}$ 表示在相同条件下前 $i$ 个数字的最大匹配数之和。

转移需要分 $S_{i}=S_{i+1}$ 和 $S_{i}\neq S_{i+1}$ 讨论。不难发现 $S_i$ 具体值不重要，于是都可以叠到一起做。或者说能快速幂，具体而言：

• 若 $S_i=S_{i+1}$

  选择 $T_i=S_i$ 或者 $T_{i}\neq S_i$ 不会改变第二维。如果选择相同会使得最大匹配加一，从而 $g_{i,j}+\leftarrow f_{i,j}$ 。$f$ 的转移有 $m-1$ 的系数

• 若 $S_{i}\neq S_{i+1}$

  $T_i=S_i$ 会让 $j$ 减少，如果 $j$ 本身是 $0$ 会使得最大匹配增加

  $T_i=S_{i+1}$ 会让最大匹配增加

  $T_{i}\neq S_{i+1},S_{i}$ 时最大匹配不变，$f$ 的转移有 $m-2$ 的系数

前者转移统一移后做，第二部分转移写乘 $GF$ 之后可以短多项式快速幂得到 $G$ 。前者是等比数列求和。

苯为

长度为 $n$ 的环染 $k$ 中颜色的方案数是 $(k-1)^n+(-1)^{n}(k-1)$

这题本身是求出来树上长度为 $i$ 的链的数量，将它们连成长度为 $(A+1)i$ 的环染色，剩下的点染 $(k-1)$ 种颜色。不过这个过程相当于给边带了权，那么设 $f_{i}$ 表示 $i$ 子树中所有到 $i$ 的链的权值总和，在 $\rm LCA$ 处合并两份权值即可。