【考试总结】2022-07-27

Sample

使用 $\rm Lagrange$ 乘数法来处理本题中最值问题。证明不会，过程就是列出被求最大值函数 $f(p_1,\dots p_n)$ 表达式 $\displaystyle2\sum_{i=1}^n ip_i(1-p_i)$，由 $\displaystyle\sum_{i=1}^n p_i=1$ 的限制将问题转化成 $\displaystyle F(p_1,\dots p_n,\lambda)=f(p_1,\dots p_n)+\lambda (-1+\sum_{i=1}^n p_i)$ 的最大值求解。

对于每个参量求偏导，本题中可以得到 $p_i=\dfrac{1}2+\dfrac{\lambda}{2i}$ ，就可以得到 $\lambda$ 的表达式。

乍一看做完了，但是还没有处理 $0\le p_i\le 1$ 的限制，能处理不等约束的做法我看不懂，但是 $p_i$ 的表达式形如关于 $i$ 的反比例函数，那么可以让一个前缀抵消成 $0$ 。二分这个前缀的长度，找到 $\displaystyle\sum_{i=R}^n p_i\le 1$ 的最小 $R$ 再求答案即可。求答案时 $\lambda$ 的值直接对后缀的系数均分。

也有不带 $\log$ 的做法，就是双指针扫出来所有的二分结果

Det

做行差分再做列差分可以将每个区间带来的影响变成 $a_{l,l},a_{r+1,r+1}$ 处加一，$a_{l,r+1},a_{r+1,l}$ 处减一。于是乎问题变成了连边 $(l,r+1)$ 求生成树个数

由于 $m\le n+300$ 那么度数不小于 $3$ 的点数量非常有限。将一度点用拓扑排序删去后找到二度点联通块，该联通块不能扩展的原因必然是出现了三度点边界（单独成联通块的情况更好处理就是了）

使用 dfs 找到边界，两端时同一个点那么直接给答案附加点数 $+1$ 的系数，否则在两个端点中间连一条广义边 $(a,b)$ 表示使用这条边将这两个端点联通的方案是 $a$ 而不使用这条边将这两个点联通的方案数是 $b$，根据实际含义可以得到初值为 $(1,\text{联通块边数})$ 。

可以用 std::map 记录广义边并合并，在原图中连接三度点的边也要作为广义边存在。

剩下工作就是求行列式

Game

题目中保证了对于每列都有至多一张卡牌向上有解，将其翻转之后变成至多一张卡牌向下。那么此时对于列牌数 $\ge 2$ 的列而言就得到了答案，而那些列上只有一张卡牌的就需要钦定该行是否翻转

先按照牌数从小到大遍历所有行来处理钦定带来的迭代，被钦定波及的列在接下来的过程中不作处理。

根据实际含义，剩下要处理的是 “如果钦定行翻转情况使得这张牌向上，那么剩下的行翻转情况都被确定，需要让牌向下”，是 2-sat 射程范围内的东西。

注意建图时有几种情况的讨论，同时需要对于每列前后缀优化