【考试总结】2022-07-19

树的路径变换问题

最后一条操作的路径长度一定为 $1$，在断开它之前它联通的两个连通块中的操作必须被全部完成。

那么可以倒序模拟操作：将 $2n-2$ 条输入的边一起维护，如果两个点之间有两条边以上就把其中一个删掉，在它边表里面的边连到另一个点上。如果可以删到只剩下一个点，那么存在操作序列

为保证复杂度，需要删掉度数较小的点。使用 unordered_map 维护某条边的出现次数，set 维护邻接表。时间复杂度 $\Theta(n\log^2 n)$

相似序列问题

原题 【B 关系】，本题必须暴力 DP，不能矩阵快速幂

稀疏阶乘问题

$m|f(x)\Rightarrow m|f(x+m)$ 设 $M(x,z)$ 表示最小的 $v$ 使得 $v\equiv z(\bmod x),x|f(v)$

求出来 $f(m,z)$ 后本题可以 $\Theta(1)$ 找到每个余数有几个范围内的数字来统计答案。

将 $m$ 质因数分解为 $\displaystyle\prod p_i^{e_i}$，注意到 $x\perp y$ 时，$M(xy,z)=\max(M(x,z),M(y,z))$ 所以求出来 $M(p_i^{e_i},0\sim m)$ 即可

如果某个 $e_i=1$，那么此时任务为找到一个 $j$ 满足 $x\equiv j^2\mod p_i$ ，对于每个 $p$ 求 $[0,m)$ 中每个余数的得数，可以枚举余数作为二次剩余的底数，可以更新的元素参考 $50$ 分暴力。

当 $e_i>1$ 时由于 $v<p_ie_i$ 的 $v$ 就可以一定可以实现整除，枚举 $v\in[0,p_ie_i)$ 来模拟即可，每个 $k\in[0,m)$ 在每个 $p_i$ 会被枚举 $e_i$ 次，总复杂度 $\Theta(m\log m)$