【考试总结】2022-05-24

奇怪的博弈

首先黑色白色棋子是独立的，所以局面 $\rm SG=SG_{B}\oplus SG_{W}$，而 $\rm SG_W$ 就是所有白色石子堆的大小异或和

由于每次只能取走数目最小的一堆中的石子，那么相对大小关系不会发生改变，也就是说没取完之前都只能取这堆石子

此时可以通过简单推导得到表达式，即 $SG_{B}=\min pile-[(\min=\max)\oplus (cnt_{min}\equiv 1\mod2)]$

枚举最小的堆中的石子个数，此时问题本质上是求一个多重集合的子集异或和为 $t$ 的子集数量

使用线性基判定是不是能表示出来，如果可以那么对于不在线性基中的元素，每种 “是否在子集” 的分配方案都可以对应一个线性基中的分配方案

倒序枚举复杂度即 $\Theta(n\log W)$

赛时的暴力 $\rm DP$ 写错模数是怎么回事呢？

奇怪的拆分

设 $f_n$ 表示本题中定义的集合形成的二叉树数量，考虑枚举左右儿子大小并忽略其位置可以得到下述方程

$$f_{n}=1+\frac12\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}f_if_{n-i}$$

使用 $\rm EGF$ 来补项化简可以得到：

$$2F=\frac 12F^2+e^x+\frac 12$$

解方程过后使用多项式开根即可

奇怪的植物

使用 $\rm AC$ 自动机维护所有文本串，由于 $\sum |t_i|\le 40$ 所以可以将每个点的 $\rm DP$ 写成矩阵的形式，套用倍增即可得到一个复杂度 $\Theta(nl^3\log n+ql^2\log n)$ 的做法

其实第一步的倍增中不必要每个元素都处理 $\rm 1,2,\dots \log_2dep$ 的所有转移矩阵，大可使用树状数组的思想每次消掉深度的 $\rm lowbit$ 来进行上跳，如果深度差较小了则每次找到二进制下最高位跳上去

那么让 $\sum\log_2\rm lowbit(dep)$ 尽量小成了现在的目的，可以在根上方添加一系列虚点，即只改变深度，不含有任何信息

设最终的添加的点数为 $L$，初始 $L=0$，从小向大遍历每个二进制位 $i$，如果未确定 $\rm lowbit$ 的元素中深度加 $L$ 的第 $i$ 位的数量超过第 $i$ 位 $1$ 的元素就让 $L\leftarrow L+2^{i-1}$ 来让更多的元素 $\rm lowbit$ 尽量小即可

经过上述修改之后，使用 $\Theta(n\sum\frac{i}{2^i})=\Theta(n)$ 发现预处理复杂度中的 $\log$ 消失了