Dirac 条件的一个我自己的证明

因为拿到这个条件之后这些东西都是我自己想的，所以浅浅记下来玩一玩。

dirac 条件

对于 $k$ 个点的无向图，如果每个点的度数都大于等于 $\left\lfloor\frac k2\right\rfloor$ 则存在一条哈密顿圈。

Solution

$k=1,2,3$ 均成立。

假设结论对 $k<n$ 成立， $k=n$ 时：

在图中找一条边 $u,v$ 并找 $w$ 满足存在边 $(u,w),(w,v)$ （根据托兰定理一定存在这样的 $w$ ）不断扩展这样的回路，那么假设最终得到的回路长度为 $s$ ，那么对于不在回路上的点一定满足和回路上的点的连边数量少于 $\lfloor\frac{s}2\rfloor$ ，否则根据鸽巢原理能找到回路上的相邻两点满足和它有边。

于是记不在回路上的点为 $x_1\dots x_{n-s}$ 那么记 $deg(x_i)$ 表示 $x_i$ 的出边中终点为 $x_j$ 的数量。此时不难发现 $deg(x_i)\ge\lfloor \frac{n}2\rfloor+1-\lfloor\frac s2\rfloor>\lfloor\frac{n-s}2\rfloor$ 根据归纳假设这 $n-s$ 个点的导出子图中有哈密顿圈。

假设按照最合适的回路扩展方法所能得到的最长的的回路长度 $=n$ 则原命题成立，否则记 $s$ 为所有扩展方法中最长回路长度。可以发现，扩展回路的方法只有有限种。此时根据上面的陈述可以发现 $s\ge \frac{n}2$ 。在 $s=n-1,n-2$ 以及在 $n$ 是偶数且 $s=\frac{n}2$ 时都可以通过简单的鸽巢原理来证明，于是我们限制 $\frac n2<s<n-2$ 来进行下面这部分。

2.证明在 $n-s>0$ 时可以把长度为 $n-s$ 的回路的一部分拼到长度为 $s$ 的的回路上得到一个长度为 $t(t>s)$ 的回路。

考虑到一个小环上的点（在长度为 $n-s$ 的哈密顿圈上的点）必然有 $\lceil\frac n2\rceil-(n-s-1)$ 条出边的终点在大环上，于是小圈上相邻两个点的连向大环的出边终点交集中至少有 $\lceil\frac n2\rceil-(n-s-1)$ 个点。这些点之间的夹着的点的数量必然 $n-s$ 否则和这个长度为 $s$ 的哈密顿圈是最大的相矛盾。