【学习笔记】数学分析 2023

本来是打算认真学习数学分析，并且认真给学到的东西写一份 latex 博客，但是因为这太浪费时间，给这么数学的东西写博客意义不明显。所以断更了。

第一章 预备知识

基础概念

• 函数的复合 $f\circ g$ 和 $g\circ f$ 可能写出来的表达式一样，但是定义域不一样。$f(x)=\frac{1}{1-x}.,g(x)=\frac1x$

  多个函数复合可以实现结合律，但是显然没有交换律。

• 周期函数的定义需要满足 $f(x)$ 在 $x\pm T$ 处有定义且满足 $f(x)=f(x\pm T)$

例题

• 证明 $n!\le \left(\dfrac{n+2}{\sqrt 6}\right)^n$

  Solution

  两边平方，首尾配对：$\displaystyle (n!)^2\le\frac 1n(\sum_{i=1}^n i(n+1-i))^n\le (\frac{(n+2)^2}6)^n$

• 给定实数 $x$ 和整数 $N>1$ 证明存在 $p,q\in \mathbb{Z}$ 满足 $0<q\le N$ 且 $|qx-p|<\frac{1}N$

  Solution

  【构造抽屉】

  设 $\{x\}$ 表示 $x$ 的小数部分。于是 $\{x\},\{2x\},\dots \{(N+1)x\}$ 必然存在两个落到区间 $[0,\frac 1N),\dots[\frac{N-1}N,1)$，于是系数作差得到 $q$

• 设 $f(x)$ 在有理数点值为其最简表示法的分母，无理数点值为 $0$，证明 $f(x)$ 在任何开区间 $(a,b)$ 上都无界。

  Solution

  【从两个角度证明某种元素分别满足无穷个和有限个来推导矛盾】

  首先我们知道 $(a,b)$ 上是由无穷多个有理数的。如果有界 $k$ 那么分母满足 $1\le q\le k$，那么任意有理数的分子 $p$ 也要满足 $p\in(aq,bq)$，所以有理数变成了有限个，出现了矛盾。

第二章 极限

基础概念

• 邻域和空心邻域，没有包含关系。

  邻域就是有心的，空心邻域就是没心的。

• 无穷大数列一定是无界数列，但是无界数列不一定是无穷大数列。比如 $\left\{\frac{(-1)^n+1}2n\right\}$

• 无穷个无穷小量的乘积不一定是无穷小量，构造 $\{\{x_n\}\}$ 满足 $i=j$ 时 $x_{i,j}=i^{i-1}$，$i<j$ 时 $x_{i,j}=1$，$i>j$ 时 $x_{i,j}=\frac1j$ 有限中建立的直观不一定准确

代数技巧

• Bernoulli 不等式 $(1+x)^n\ge 1+nx$ 在 $x\to 0$ 时不等号趋近于等号。或者说 $(1+x)^n-1$ 和 $nx$ 在 $x\to 0$ 时是等价无穷小

  例题：$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt[n]{1+\alpha x}\sqrt[m]{1+\beta x}-1}{x}$，记 $y=\sqrt[n]{1+\alpha x},z=\sqrt[m]{1+\beta x}$

  Solution

  标准证明是先将分子变成 $(y-1)(z-1)+(y-1)+(z-1)$ 那么拆开成三个极限。后面两个极限变成 $\frac{\alpha (y-1)}{y^n-1}$ 和 $\frac{\beta (z-1)}{z^m-1}$，上下消掉 $y-1$（$z-1$） 因为在 $y\to 1$ 时这不是 $0$ 便可以得到了。

  剩下的是 $\frac{y-1}{\sqrt x}\times \frac{z-1}{\sqrt x}$ 将 $\sqrt x$ 变成 $\sqrt{\dfrac{y^n-1}\alpha}$ 和 $\sqrt {\dfrac{z^m-1}{\beta}}$ 上下把 $y-1$ （或 $z-1$） 消掉之后，再把这个极限用乘法法则展开，上面还有一个 $\sqrt {y-1}$（或 $\sqrt {z-1}$） 自然是 $0$ 咯

• 如果证明的过程中遇到了函数一段正一段负，让求极限，这时候不妨考虑这个极限是 $0$ 的可能性，证明的一个方式是把它的绝对值放大 例题是：求 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \ln\left(x\sin\left(\frac 1x\right)\right)\ln x$

  Solution

  第一个对数用 $(x-1)\sim \ln x$ 拉出来，然后使用 $\left|\frac{\sin x}x-1\right|\le 1-\cos x$ 得到 $\text{原式}\le \displaystyle \lim_{x\to +\infty}(1-\cos \frac1x)\ln x$

  使用 $\cos x\sim 1-\frac{x^2}2$ 处理即可。得到一个 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{2x^2}$

• $\displaystyle \lim_{x\to \pi}\frac{\sin(mx)}{\sin{nx}}=(-1)^{n+m}\lim_{x\to \pi}\frac{\sin(m(x-\pi))}{\sin(n(x-\pi))}=(-1)^{n+m}\lim_{y\to 0}\frac{\sin (my)}{\sin (ny)}=(-1)^{n+m}\frac{m}n$

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt n(n^{\frac1n}-1)=\lim_{n\to+\infty} \frac{\sqrt[n]n-1}{\frac{\ln n}n}\times \left( \frac{\ln n}n\times \sqrt n\right)=\lim_{n\to \infty}\frac{\ln n}{\sqrt n}\times \lim_{n\to \infty}\frac{e^{\frac {\ln n}{n}}-1}{\frac{\ln n}{n}}=1$

  其实 $x=e^{\ln x}$ 也是常见技巧了，不能掉以轻心。

证明技巧

• 利用 $\epsilon-N\texttt{ 或者 }\epsilon-\delta$ 的等价定义来证。比如 $|a_n-A|\le k\epsilon$ 甚至是只和 $\epsilon$ 有关的 $f(\epsilon)$

  例题 1

  已知 $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}a_n\to A$，证明 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{\sum_{i=1}^n a_i}n\to A$

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  只说明 $A=0$ 的情况，$A\neq \infty$ 的其它情况代换 $b_n=a_n-A$。$A=\pm\infty$ 基本可以说同理

  对于任意 $\epsilon>0$ 取 $N(\epsilon)$ 满足 $n>N(\epsilon)$ 时 $|a_n|\le\epsilon$。于是

  $$\displaystyle n>N,|\frac{\sum_{i=1}^n a_i}n|=|\frac{\sum_{i=1}^N a_i}n+\frac{\sum_{i=N+1}^n a_i}n|\le \frac{n-N}n\epsilon+|\frac{\sum_{i=1}^N a_i}n|$$

  在 $n\to \infty$ 时后面一项是趋近于 $0$ 的，那么可以找到一个 $N_1$ 使得 $n>N_1$ 时 $|\frac{\sum_{i=1}^N a_i}n|\le \epsilon$ 然后不等号右侧在 $n>N_1$ 时小于 $2\epsilon$ 证毕

  例题 2

  设 $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0$ 且 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(\frac x2)}x=0$ 证明 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}x=0$

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  $$\forall \epsilon >0 \exists \delta>0,0<|x|<\delta,|f(x)|<\epsilon,|f(x)-f(\frac x2)|<\epsilon|x|$$

  那么可以发现下式：$|f(\frac x{2^t})-f(\frac x{2^{t+1}})|<\epsilon|\frac{x}{2^t}|$

  于是我们做累加，得到 $-2\epsilon|x|<f(x)-f(\frac{x}{2^{t+1}})<2\epsilon|x|$

  此时不难发现 $|\frac{f(x)-f(\frac{x}{2^{t+1}})}{x}|\le 2\epsilon$，在 $t$ 趋向于 $+\infty$ 时减数为 $0$

• 证明有界性，需要将数据适当放大；对于无界性，需要将数据适当缩小。

  比如 $\{\frac{n+1}{\sqrt n-1},n\ge2\}$ 的无界性，可以有 $\frac{n+1}{\sqrt n-1}>\frac{n-1}{\sqrt n-1}=\sqrt n+1$ ，发散

• 证明数列收敛的方式除了按照定义和 Cauchy 收敛原理之外，还可以使用 单调有界必收敛 来声明

  例子 $a_n=\sum\limits_{i=1}^n \frac 1i-\ln n$ 证明 $a_n$ 收敛。

• 海涅定理，证明中有一个 part 使用了 构造数列 的技巧。

• $f(x)$ 定义于 0 的某个空心邻域 $U$ 对于任意 $x\in U$ 都有 $\lim\limits_{n\to +\infty}f(\frac xn)=0$ 则 $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0$ 错误。

  根据海涅定理，你发现这相当于是取了一个很特殊的序列 $\{\frac xn\}$，同时我们可以发现这个数列任意两项都是满足比值是有理数，所以我们构造一个任意两项比值都是无理数的无穷数列 $A$，让 $f(x)$ 在这些点值取值另类，剩下的随波逐流。这样上面的 $\{\frac xn\}$ 只有一项落入 $A$。

  一种构造是取 $\{\frac1{\sqrt {prime}}\}$

• 把 $e$ 的定义式扩展到实数的时候，可以先声明整数的情况，本质上是声明了 $\lim\limits_{x\to \infty}(1+\frac1{[x]})^{[x]}$。我们可以使用函数单调性和迫敛性定理（夹逼准则）来找到上下两个整数把方括号去掉。

附录

英语单词

• domain 定义域
• range 值域