Codeforces468E Permanent
Description
给定一个 \(n\times n\) 的矩阵，初始时矩阵的每个元素都为 \(1\)。又给出 \(k\) 个三元组 \((x,y,z)\)，表示将矩阵的 \((x,y)\) 位置变成 \(z\)。你需要求出完成这些变换之后矩阵的积和式。对 \(10^9+7\) 取模。
\(n\le 10^5,k\le 50\)
Solution
\(w=(w-1)+1\) 。对于一种合法的选择特殊位置的方案（符合排列），设其选择 \(m\) 个特殊位置，则对答案的贡献为特殊位置的 \(w\) 减一后乘积再乘 \((n-m)!\)，因为没有被命中的列的排列可以任选。
考虑处理特殊位置，将其转化为行和列的匹配，那么匹配数量就是上面的 \(m\) 。在状压 \(\rm DP\) 时不用另开一维。
\(\Theta(k2^{k})\) 的想法不再赘述。
注意到在一个点选择出边的时候，影响的只是这个联通块里面的点。可以对于每个联通块分别处理来将点数降到 \(k\)，同时将二分图的点数小的一侧压进状态里，复杂度降到 \(\displaystyle\Theta(k2^{\frac{k}2})\)
不利用二分图的性质那么还有一个做法：求出来原图一棵生成树，并枚举非树边是否选择。树边的选择情况是可以通过树形 \(\rm DP\) 来统计的，记录子树里面有多少条边被选入匹配即可，复杂度 \(\Theta(2^{m-n}n^2)\) 。
揉起来可以做到 \(\Theta(k^2n^{\frac{1}3})\) ，可以通过
Code
const int N=2e6+10;
int n,K,sum[N],tmp[N],res[N],fac[N];
vector<pair<int,int> > G[N];
bool vis[N];
int cnt_edge;
vector<int> node;
inline void expand(int x){
if(vis[x]) return ;
vis[x]=1;
node.emplace_back(x); cnt_edge+=G[x].size();
for(auto t:G[x]) expand(t.fir);
}
namespace Bitmask_DP{
int id[N],idx[N],idy[N],cnty,cntx;
int dp[1<<20];
inline void work(){
cntx=0,cnty=0;
for(auto x:node){
if(x<=n){
idx[++cntx]=x;
id[x]=cntx;
}else{
idy[++cnty]=x;
id[x]=cnty;
}
}
if(cntx<cnty){
for(int i=1;i<=cnty;++i){
swap(idx[i],idy[i]);
swap(id[idx[i]],id[idy[i]]);
}
swap(cntx,cnty);
}
int U=1<<cnty; --U;
dp[0]=1;
for(int i=1;i<=cntx;++i){
for(int s=U;s>=0;--s) if(dp[s]){
dp[s]%=mod;
for(auto t:G[idx[i]]){
if(s>>(id[t.fir]-1)&1) continue;
dp[s|(1<<(id[t.fir]-1))]+=dp[s]*t.sec%mod;
}
}
}
rep(s,0,U) if(dp[s]) res[__builtin_popcount(s)]+=dp[s],dp[s]=0;
rep(i,1,cntx) id[idx[i]]=0,idx[i]=0;
rep(i,1,cnty) id[idy[i]]=0,idy[i]=0;
return ;
}
}
namespace Brute_Force{
struct DSU{
int fa[N];
inline void init(int n){rep(i,1,n) fa[i]=i; return ;}
inline int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
inline void merge(int x,int y){fa[find(x)]=find(y); return ;}
}Dsu;
struct edge{int u,v,w;}e[110];
int ecnt,idcnt;
vector<pair<int,int> > tr[N];
bool mark[N];
int dp[300][300][2],tmp[300][2],id[N],siz[300];
inline void dfs(int x,int fat){
memset(dp[x],0,sizeof(dp[x]));
dp[x][0][mark[x]]=siz[x]=1;
for(auto e:tr[x]){
int t=e.fir; if(t==fat) continue;
dfs(t,x);
for(int i=0;i<=siz[x];++i){
for(int j=0;j<=siz[t];++j){
tmp[i+j+1][1]+=dp[x][i][0]*dp[t][j][0]%mod*e.sec%mod;
tmp[i+j][0]+=dp[x][i][0]*(dp[t][j][0]+dp[t][j][1])%mod;
tmp[i+j][1]+=dp[x][i][1]*(dp[t][j][0]+dp[t][j][1])%mod;
}
}
siz[x]+=siz[t];
for(int i=0;i<=siz[x];++i){
dp[x][i][0]=tmp[i][0]%mod;
dp[x][i][1]=tmp[i][1]%mod;
tmp[i][0]=tmp[i][1]=0;
}
}
}
inline void work(){
idcnt=ecnt=0;
for(auto x:node) id[x]=++idcnt;
Dsu.init(idcnt);
rep(i,1,idcnt) tr[i].clear();
for(auto x:node){
if(x>n) break;
for(auto t:G[x]){
int u=id[x],v=id[t.fir];
if(Dsu.find(u)!=Dsu .find(v)){
Dsu.merge(u,v);
tr[v].emplace_back(u,t.sec);
tr[u].emplace_back(v,t.sec);
}else{
e[++ecnt]={u,v,t.sec};
}
}
}
int S=1<<ecnt; --S;
for(int s=0;s<=S;++s){
bool legal=1;
int coef=1;
for(int i=1;i<=ecnt;++i) if(s>>(i-1)&1){
if(mark[e[i].u]||mark[e[i].v]){
legal=0;
break;
}
ckmul(coef,e[i].w);
mark[e[i].u]=mark[e[i].v]=1;
}
if(legal){
dfs(1,0);
int Bas=__builtin_popcount(s);
for(int i=0;i<=siz[1];++i){
int val=add(dp[1][i][0],dp[1][i][1]);
res[Bas+i]+=val*coef%mod;
}
}
rep(i,1,ecnt) mark[e[i].u]=mark[e[i].v]=0;
}
return ;
}
}
signed main(){
n=read(),K=read();
for(int i=1;i<=K;++i){
int x=read(),y=read(),z=read();
ckdel(z,1);
G[x].emplace_back(y+n,z);
G[y+n].emplace_back(x,z);
}
sum[0]=1;
for(int x=1;x<=n+n;++x) if(G[x].size()&&!vis[x]){
cnt_edge=0; node.clear();
expand(x);
sort(node.begin(),node.end());
cnt_edge/=2;
if(cnt_edge*2>node.size()*3)
Bitmask_DP::work();
else
Brute_Force::work();
for(int i=0;i<=K;++i) res[i]%=mod;
for(int i=0;i<=K;++i) for(int j=0;i+j<=K;++j) tmp[i+j]+=sum[i]*res[j]%mod;
rep(i,0,K) sum[i]=tmp[i]%mod,res[i]=tmp[i]=0;
}
int ans=0; fac[0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
for(int i=n;i>=0;--i) ans+=mul(sum[i],fac[n-i]);
cout<<ans%mod<<endl;
return 0;
}
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