【ARC127F】±AB

Description

给定长度为 $m$ 的数轴和起始位置 $V$。另外给定两个互质整数 $A,B$

每次操作可以从当前位置移动到 $V\pm A$ 或者 $V\pm B$ 但是不能超过数轴的边界 $[0,m]$

求在进行任意多次操作之后的可达点数量

输入文件共 $T$ 组数据

$m\le 10^9,T\le 10^5$

Solution

首先 $A+B\le m+1$ 时答案是 $m+1$。注意到 $A\perp B$ ，将从 $V$ 走到某个位置 $x$ 刻画成若干位移的合成，优先使用正位移，正位移无法使用的时候使用负位移即可

对于 $A+B\ge m+2$ 的情况，进行完 $+A$ 操作之后只能进行 $+A/-B$ 操作，对于 $+B$ 操作会超界，而 $-A$ 操作不能走到之前没走过的位置。而 $+A/-B$ 操作只能进行其中之一，那么能进行的操作形成了一条链

尝试考察同一条链中是否有重复经过某个点的情况出现，考察 最小 循环里面使用了 $p$ 次 $\pm A$，$q$ 次 $\pm B$ ，再根据 $A\perp B$ 得到 $A|p,B|q$，那么 $p+q\ge A+B\ge m+2$ ，在这个过程中必然经过了重复的点。矛盾

再考察两条链之间是否有除了出发点 $V$ 之外的交点，这显然没有，否则根据决策唯一性（前驱后继唯一）两条链将成为一条链。

此时两条链的边的数量之和 $+1$ 就是能经过的总点数。

枚举 $+A/+B$ 操作的总次数，两者做法一致，那么以 $+A\& -B$ 为例。

枚举 $+A$ 操作的操作数量 $n$，$-B$ 操作最多可以进行 $\left\lfloor\dfrac{V+na}{B}\right\rfloor$。那么要求的就是最小的 $n$ 满足 $(V+nA)\bmod B+A>m$

将其展开可以得到 $\displaystyle M-(A-1)-V\bmod B \le nA\bmod B\le B-1-V\bmod B$ ，连续不等式首尾均为定值，那么可以将问题抽象成求 $f(A,B,L,R)$ 表示求最小的 $n$ 满足 $L\le nA\bmod B\le R$

这是常见问题，设 $B=kA+c$ 并且设 $qB\le nA<(q+1)B$ ，那么进行一些和式变换就可以得到子问题 $(-R)\le qr\mod A \le (-L)$

当然如果区间已经包含 $0$ 可以直接返回 $\min q=0$ ，否则可以将 $-L,-R$ 对 $A$ 取模再递归

得到子问题 $q$ 的最小值之后可以还原 $n$ 的最小值 $\left\lceil\dfrac{qB+L}A\right\rceil$

时间复杂度 $\Theta(T\log m)$

这是不是类欧几里得呢？

Code

inline int get(int A,int B,int L,int R){
	if(!A) return 0;
	
	if((L-1)/A==R/A){
		int q=get(B%A,A,(A-R%A)%A,(A-L%A)%A);
		return (q*B+L+A-1)/A;
	}
	return (L+A-1)/A;
}
inline int calc(int A,int B,int V,int M){
	int V0=V%B,p=0;
	if(V0+A<=M) p=get(A,B,M-V0-(A-1),B-1-V0);
	return p+(V+p*A)/B;
}
signed main(){
	int T=read();
	while(T--){
		int A=read(),B=read(),V=read(),M=read();
		if(A+B<=M+1){
			print(M+1);
			continue;
		}
		print(calc(A,B,V,M)+calc(B,A,V,M)+1);
	}
	return 0;
}