AGC053D Everyone is a winner

Description

有 \(n\) 个人一起做题，每个人有 \(a_i\) 个题目需要 \(1\) 分钟完成，\(b_i\) 道两分钟题，\(c_i\) 道三分钟题。判定在每个人任意选择做题顺序的情况下，是否可能 第 \(i\) 个人是完成前 \(i\) 到题目最快的人（之一）。

\(n\le 2\times 10^5\)

Solution

如果确定每个人前 \(i\) 个数字的 \(1,2,3\) 分配 \((x,y,z)\)，那么显然在前 \(i\) 题以及后 \(n-i\) 题都会是按照耗时倒序做

考虑维护序列 \(\{T\}\) ，其中 \(T_i\) 表示对第 \(i\) 个人前 \(i\) 道题目完成时间的限制，初始化为每个人都按耗时倒序做题时所需要花费的时间的最小值。

倒序处理每个人调整策略后对前缀的影响，即处理到 \(i\) 时 \(T_i\) 为 \((i,n]\) 中每个人调整策略后做前 \(i\) 题的时间以及 \([1,i]\) 中每个人完全倒序做题的时间中的最小值。此时需要调整 \(i\) 倒序做题的策略来使得用时 \(\le T_i\)

设 \(i\) 完成的前 \(i\) 个题目中 \(1,2,3\) 分钟题的数量分别为 \(x,y,z\)，于是有 \(x+2y+3z\le T_i,x+y+z=i\) 。那么要在最大化 \(x+2y+3z\) 的基础上最大化 \(x\)。无解判据即找不到这样的 \(x,y,z\)

得到合法方案之后再去更新前缀 \([1,i)\) 的 \(T_i\)。

一个比较明显的问题没有处理 \(i<j\) 的对子 \((i,j)\) 中 \(i\) 对 \(j\) 的影响。官方题解中的证明，大意是如果经过 \(i\) 的策略调整后 \(T_{i-1}+2\ge T_i\) 于是后面 \(T\) 的折线斜率不超过 \(2\)，于是如果抛去 \(x,y,z\) 后用时为 \(1\) 的题目过多一定会在处理 \(j\) 的时候影响到。

这个做法看起来是 \(\Theta(n^2)\) 的，但是每个人做题的耗时本质上是折线，而更新前缀的过程中也是让折线和折线取 \(\min\)。这条折线也非常特殊，斜率只有 \(1,2,3\) 三种，那么可以维护每个 \(x+b_1,2x+b_2,3x+b_3\) 中的 \(b_1,b_2,b_3\) 而询问折线某处取值就是代入表达式取 \(\min\) 。上面提到的取 \(\min\) 操作即将两条折线的 \(b_1,b_2,b_3\) 对位取 \(\min\)

寻找 \(x+2y+3z\) 的合法值时可以从 \(T_i\) 向下暴力枚举取值，总枚举量是 \(\le 3n\) 的。合法性等价于是否存在 \(x\) 满足 \(0\le x\le a_i\) 另外的两条限制加在 \(0\le y\le b_i,0\le z\le c_i\) 上，可以根据 \(y+z=i-x,2y+3z=t-x\) 而 \(i,t\) 是定值得到 \(y,z\) 关于 \(x\) 的表达式。

前缀折线的表达式据 \((t,x,i)\) 可以得到。

复杂度为 \(\Theta(n)\)

Code

const int N=2e5+10,inf=0x3f3f3f3f;
int n,a[N],b[N],c[N];
struct Line{
	int a,b,c;
	//K=1,2,3 时对应的截距
	Line(){a=b=c=inf;}
	Line(int x,int y,int z){a=x; b=y; c=z; return ;}
	inline int at(int x){return min({a+x,b+2*x,c+3*x});}
};
inline Line Merge(Line a,Line b){return Line(min(a.a,b.a),min(a.b,b.b),min(a.c,b.c));}
int main(){
	int T=read();
	while(T--){
		n=read();
		Line A;
		rep(i,1,n){
			a[i]=read(),b[i]=read(),c[i]=read();
			A=Merge(A,Line(b[i]+2*c[i],c[i],0));
		}
		bool illegal=0;
		for(int i=n;i>=1;--i){
			int v=A.at(i);
			while(v>=0){
				int lhs=min(a[i],min((3*i-v)/2,c[i]+2*i-v));
				int rhs=max(0,max(2*i-v,(3*i-v-b[i]+1)/2));
				if(lhs>=rhs) break;
				--v;
			}
			if(v<0){
				illegal=1;
				break;
			}
			int x=min(a[i],min((3*i-v)/2,c[i]+2*i-v));
			int B=3*i-v-2*x,C=v+x-2*i;
			A=Merge(A,Line(B+2*C,C,0));
		}
		puts(illegal?"No":"Yes");
	}
	return 0;
}