笔试杂题选记

不知道定义型

概念 strikes back
- 统计量是样本点的函数，或者说可以理解成数学表达式。
  比如有样本点 $\{(x_i,y_i)\}$ ，那么 $\frac 1n\sum_{i=1}^nx_i$ 是一个统计量
- 渐进无偏估计
  现在有一个统计量，或者说一个数学表达式。另外有一个描述随机变量分布特性的词，比如方差协方差期望，我们称某个式子是某个词的无偏估计，当且仅当时， $Pr(\texttt{absolute difference}>\epsilon) = 0$
- bessel 修正
  
  描述：样本方差的系数应该从 $\frac 1n$ 改成 $\frac 1{n-1}$ 才能成为总体方差的无偏估计。注意计算样本方差时使用的样本平均值和 $E(X)$ 不太一样。
  
  设 $\mu \overset{def}{=} E(X)$ ，把计算样本方差使用的 $X-\overline X$ 换成 $X- \mu - (\overline X-\mu)$ ，然后推推式子就能证明。中间可能会用到 $E[(\overline X -\mu)^2] = \frac{\sigma^2}n$ 的性质
三个变量 X Y Z 两两相关系数都是 $\rho$ 那么求 $\rho$ 的取值范围

相关系数的定义： $\displaystyle\dfrac{cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}，cov(X,Y) =E\left[ (x- E(x))(y-E(y))\right]$ 。

有一个相当简单的做法，考虑 X Y Z 的相关系数矩阵，它是对角线为 1,其余都是 $\rho$ 的矩阵，满足半正定，特征值是 $\lambda_1 = 1-\rho ,\lambda_2 = 2\rho +1$

相关矩阵的半正定性可以通过其构造方式来理解：它是标准化后的协方差矩阵。协方差矩阵可以被表示成 $Z^T Z$ ，这种矩阵显然半正定。
X Y 是两个 [0,1] 上均匀分布的随机变量，求 X+Y>1 时 Y 对 X 的回归系数

$Y = \beta X + \epsilon$ ，这里 $\beta = \dfrac{cov(X,Y)}{Var(X)}$

这个事情好像在高等代数最小二乘法那里讲过，大概是最小化预测值 $y_i$ 和观测值 $y' _ i$ 的 l2 norm，推出来的回归系数的表达式。

不知道咋做型

题目大意是说有13张牌，数字1到10，以及J、Q、K，JQK代表0。这些牌被随机倒置。每一轮可以花费1元询问两张牌的差值（不是绝对值，是第一张减第二张的差值）。最终需要选择两张牌，获得它们的数字乘积作为奖励。如果其中一张是JQK，则奖励为0。问题是要确定购买入场券最多值多少钱。

只能说一个大概的做法。这个做法为啥是 optimal 的以及最终答案都不知道。

做法很简单，就是询问第一个卡和第 2~12 个卡的差。
这题如果婴儿在原点就不能再往后走了，0.8 原地不动，0.2 往前。

markov chain，又名概率dp。 $dp_{i} = adp_{i} + bdp_{i+1} + cdp_{i+2},dp_{0} = dp_{0}\times 0.8 + dp_{1} \times 0.3$ 。研究一下无穷状态下，这个 markov 过程收敛到 stationary distribution，把这东西一求就行了。
最最重量级的一题。感觉是这段时间做的最牛逼的一题了。做法很 trivial，枚举 8 个自己的选择，然后 dp_{i,j} 表示自己匹配了 i 个，对面 j 个时，自己获胜的概率，狂暴手算得到dp_{0,0} 即可。

一只蚂蚁在一个正方体的楞上走，在每个顶点会随机往三个邻点中的一个走去，请问期望多少次走回自己。
一列（正无穷个）随机变量服从独立同分布于 U(0,1)，n 为前缀和大于等于 1 的最小下标，求 n 的期望。
还有一个计算k面骰子投n次，假设1向上和2向上的次数是x1 x2，求这俩变量的covarience
有 [0,1] 这部分数轴，被随机分成 n 段，请问包含数轴上 a 点的线段的期望长度是多少
两个骰子，扔一次得到 A,B，求 A 的 B 次方的期望。
一共有7个人，每个人背后有1个数，每个人可以看到除他以外的所有人后背上的数，但看不到自己的，每个人后背上的数是1-7的一个整数(可以重复) 若某人写的数等于他后背上的数，全员获救，否则全死。请给出一个能确保所有人获救的写数方案
线性回归是什么。